定積分在高三物理復習教學中的應用探微

劉益民

（江蘇省寶應縣中學 江蘇 寶應 225800）

蘇教版高中數學選修2－2教材新增加了定積分內容，其中講到了曲邊梯形的面積、變速運動路程、變力做功等問題，這為我們學好高中物理增添了一種新的數學方法，筆者也將定積分思想與方法滲透到高三物理復習教學過程中，做了一些嘗試，以尋求高中數理新的結合點.

1 物理概念的滲透

高中物理教材中有不少物理概念要能真正掌握，不僅僅是字面上去理解，而且需要在概念的內涵與外延上挖掘，注意定積分思想的滲透.

例1.如圖1所示，長為L、質量為m的均質桿在水平面內以恒定的角速度ω繞通過桿端的豎直軸O轉動，試求桿的動能.

錯解：由v＝ωr可知桿上各點速度與半徑成正比，桿的中點速度v＝ωL／2.因此桿的動能為

圖1

解析：桿的動能即桿各部分所有動能之和，因此將桿微元成無數份.設桿的線密度為η＝m／L，每一份桿的動能為桿的動能為

小結：本題學生分析錯誤的原因是因為桿不是質點問題，動能與速度平方成正比，不能簡單用中點速度來代入，而通過本題動能定積分計算讓學生體會到積分思想即累加，當然也需要先進行微元處理，寫出對應的微分形式.

證明：設流過定值電阻R的電流按正弦規律變化，即i＝Imsinωt，因為時刻t瞬時功率P＝i2R＝I2mRsin2ωt，因為代入求得則1個周期內電阻R上產生的熱量為代入上式得

小結：交流電的有效值是由電流熱效應來定義的，而由于電流變化的原因，正常復習教學大多數教師仍然對學生強調僅正弦式才有但不解釋，更不推導，因此學生仍然不甚理解，應用時容易出錯.因此，對正弦式電流有效值的證明使用定積分這也是一種復習教學中有益嘗試，畢竟學生已有定積分的基礎，同時也可作出瞬時功率P－t圖，如圖2所示，由定積分思想可知圖像面積即焦耳熱，再由“割補法”可知，等效直流電的電流

圖2

2 物理規律的拓展

在高三物理復習過程中，有些物理規律僅定性或半定量地給出相關規律，而沒有定量給出計算公式，如典型的平方反比規律延伸出的勢能、電勢等概念，這在實際解題過程如果適時利用定積分補充一點，這些規律就會淺顯易懂、我們就會應用自如.

例3.試推導第二宇宙速度v2≈11.2km／s.

解析：取r為積分變量，r∈［R，＋∞）取任一小區間［r，r＋dr］.這微小過程中萬有引力做功則當將物體由地面移到無窮遠處過程中萬有引力做的總功為

要使物體恰好脫離地球引力的束縛，在這過程中，由動能定理得即第二宇宙速度

小結：此題同時延伸得到了引力勢能的公式Ep＝教師也可進一步拓展得到點電荷電勢能的公式這將讓學生對黑洞問題、點電荷能量等問題不再抽象.

例4.如圖3所示，真空中有4點A、B、C、D共線等距，只在A點放一電荷量為＋Q的點電荷時，B點的場強為E，B、C兩點的電勢分別為8V、4V.若再將等量異號電荷－Q放在D點，則

圖3

（C）BC線段中點電勢為零.

（D）B、C兩點的電勢分別為4V和－4V.

解析：根據場強疊加原理，B點電場由兩電荷共同產生，易得場強大小為5E／4，方向水平向右，即（B）對；而由已知正電荷在B、C兩點產生的電勢分別為8V、4V，則等量負電荷在在B、C兩點產生的電勢分別為－4V、－8V，因此最終同時放置兩電荷時B、C兩點的電勢分別為4V和－4V，（D）對；又由于對稱性BC線段中點電勢為零，（C）對.

拓展：點電荷電勢公式及電勢疊加原理，如圖4所示，取r為積分變量，再取一小區間［r，r＋dr］，可視為勻強電場，則在一小區間存在的電勢差以無窮遠處為0電勢點，則P點的電勢即為P點與無窮遠電勢差為

圖4

小結：本題涉及到電勢疊加問題，如果不引入點電荷電勢公式，需要引入試探電荷，通過做功方法比較高低以及確定電勢多少，這種方法繁而難懂，而由勻強電場U＝Ed出發，在一般電場中使用定積分物理意義清晰，分析簡捷，不失為一個電勢難題的好方法.

3 物理思維方法的升華

圖像法是高中物理思維方法中的重要方法之一，而物理圖像中面積的物理意義通常都是需要關注的，圖像的面積從數學角度來講就是一種定積分，因此通過定積分來看圖、甚至于作圖就是一種全新的思維方法.

例5.如圖5所示，在兩平行金屬板中央有一個靜止的電子（不計重力），當兩板間加上如圖6所示的交變電壓后，電子始終未打到板，則電子不可能做往返運動的電壓是

圖5

圖6

解析：速度－時間圖像法：可作出4個選項大致的速度－時間圖像如圖7所示，進而非常容易地判斷出電子是否在做往返運動.（A）、（B）、（D）選項中的電壓變化規律雖不同，但都是在1個周期內先加速再減速，然后反向加速，最后再反向減速即1個周期內又回到原出發點，做往返運動.而（C）選項的1周期內，前內做變加速運動，后內做同向的變減速運動，速度變為0，然后又繼續向前，不會做往返運動，故（C）選項正確.

圖7

拓展：定積分法 對于運動某一時刻的速度的獲得是由于電壓作用引起的，因此有而即電壓 －時間圖像下所圍成的面積.因此只有（C）選項中圖像面積始終非負值，即不是往返運動.

發散1：若已知兩平行金屬板M、N相距為d，在板間加一正弦交流電如上題（C）選項所示.在t＝0時刻，質量為m、電荷量為e的電子由板中央釋放，經過半個周期，恰好到達A板，求此時電子的速度大小？

簡析1：半個周期中，

發散2：若已知兩平行金屬板 M、N相距為d，在板間加電壓如上題（D）選項所示，求經過個周期T時電子速度大小？

簡析2：由圖像得u＝－U0＋kt，其中加速度經過個周期T時，解得即線性變化可取算術平均值.

發散3：若已知兩平行金屬板M、N相距為d，在板間加電壓如上題（A）選項所示，求離開出發點最大的距離？

簡析3：因為位移即速度－時間圖像.下圖線所圍成的面積，因此本問就需要作出對應的速度－時間圖像.由電壓圖像可知電子運動的加速度規律為由于t＝0，v＝0，則C＝0.電子運動的速度規律為，如圖8所示.電子離開出發點的最大距離，即前半周期圖像面積.

圖8

小結：在交變電壓作用下帶電粒子的運動分析常規方法即做速度－時間圖像，但本題為一選擇題，作圖較費時而且較難，因為需要嚴格控制好圖線的斜率，（A）選項速度－時間圖像為一正弦函數，（D）選項速度時間圖像應為兩段拋物線相連.而使用全新的積分法只需要觀察圖像的面積累加的正負情況就行.由題目所發散的3個問題更是解決了變加速直線運動難題，值得學生思考與總結.

當然，定積分在高中物理中的應用有它的局限性，一是江蘇從2010年開始高考數學考試中定積分不再做要求，二是在數理結合時學生關鍵還不能夠熟練寫出所求量的微元，無法建立合理的數學定積分模型.但是在高三物理復習教學中開展定積分的教學，是將重要數學方法在中學階段的有機地滲透，它必將加大學生的思維力度，拓展學生的思維空間，也為他日進入高校學習做好方法上的準備.當然，在實際教學中要注意在講授定積分時不應過多的注重數學上的推理與論證，應該突出應用定積分的物理思想，同時讓學生積極參與進來，自主地使用定積分進行應用分析，逐步內化成學生自身的一種解題方法.