運動時間為什么不可求？

丁廣華

（武漢市洪山高級中學，湖北 武漢 430070）

圖1

例題.如圖1所示，光滑U型金屬導軌PQMN水平固定在豎直向上的勻強磁場中，磁感應強度為B，導軌寬度為l.QM之間接有阻值為R的電阻，其余部分電阻不計.一質量為m，電阻為R的金屬棒ab放在導軌上，給棒一個水平向右的初速度v0使之開始滑行，最后停在導軌上.由以上條件，在此過程中可求出的物理量有

（A）電阻R上產生的焦耳熱.

（B）通過電阻R的總電荷量.

（C）ab棒運動的位移.

（D）ab棒的運動時間.

答案：（A）、（B）、（C）.

解析：棒由運動到靜止，機械能轉化為電能，再轉化為內能；根據能量守恒知，電阻R上產生的焦耳熱為Q＝，故選項（A）正確.

棒在運動過程中僅受安培力作用，F＝BIl，式中電流I隨著速度的變化而變化，任一時刻棒的受力F∝I，故在整個運動過程中安培力對時間的平均值而通過電阻的電荷量以初速度方向為正方向，使用動量定理得，解得故選項（B）正確.

根據動量定理有－ˉFt＝0－mv0，聯立各式解得x＝，故選項（C）正確.

疑問：“選項（D）”為什么不可求？其實在求解（B）、（C）選項的過程中都用到了時間t，只是在解的過程中消掉了，可這不是時間t不可求的理由吧？在金屬棒的運動過程中，金屬棒的運動學特征和力學特征量都是確定的，雖然是非勻變速的直線運動，但運動時間應該是唯一值，不可求的原因是目前高中知識所限？還是由于題干中的“以上條件”所限？如果缺少條件，那么究竟差了哪一個條件呢？

解得t→＋∞.

另外，由（2）式可知，v～t函數關系為v＝e－kt.v－t圖像如圖2所示.

點評：這是一道很常見的電磁感應練習題，綜合性比較強，有一定難度，涉及到的知識點有：電磁感應、磁場對電流的作用、能量守恒、非勻變速的直線運動、動量定理、平均值概念等，常見于各種資料和模擬考試中.關于棒的運動時間經過以上分析可知，其“不可求的原因是因為時間趨于無窮”！至此也許會有學生產生新的疑問：運動時間趨于無窮，為何棒的位移可求，且為一有限值呢？其實二者并不矛盾，無限長時間的單方向的直線運動產生有限的位移是完全可能的，如圖2，時間t趨于無窮，而v～t圖像與橫軸所圍成的面積大小（表示位移）即為一定值；再比如等比數列求和：，項數無窮，而其和值為定值“1”，也是一樣的道理.

圖2