四維超混沌系統(tǒng)及其在信號加密中的應用

于春雨， 朱建良， 郭建英

(1.哈爾濱理工大學測控技術與通信工程學院，黑龍江哈爾濱150080;2.哈爾濱理工大學電氣與電子工程學院，黑龍江哈爾濱150080)

0 引言

自第一個超混沌系統(tǒng)誕生以來，由于其更強的隨機性和不可預測性，其理論研究與硬件實現(xiàn)及其在混沌保密通信等一些非傳統(tǒng)的工程技術領域的應用成為非線性電路理論與系統(tǒng)的前沿課題。尤其是多維混沌的理論設計及其電路實現(xiàn)等問題備受人們的關注［1－3］，對此，國內外學者做了深入的分析和研究［4－5］。Liao［6］、Feki［7］、Cuomo［8］、Dudieu［9］等人分別對基于混沌的信號加密與安全通信做了研究。但是，將超混沌系統(tǒng)應用于保密通信的研究還是少之又少［10－11］。

本文提出了一個四維超混沌系統(tǒng)，并設計了相應的實現(xiàn)電路，系統(tǒng)的Matlab仿真結果與所設計電路的Multisim仿真結果完全一致;該系統(tǒng)不僅為混沌加密通信提供了新的信號源，而且可用新的混沌信號源實現(xiàn)信號加密，同時將迭代次數(shù)與混沌信號的加減手段相結合來設置密碼。研究結果表明，該方法不僅可以實現(xiàn)對信號進行加密，且與其它加密方法相比較，該方法具有良好的保密性，這一方法只有在多維混沌系統(tǒng)中才能實現(xiàn)。

1 四維超混沌系統(tǒng)模型

構建的四維超混沌系統(tǒng)為

式中:a=25;b=35;c=3;d=－8。

對系統(tǒng)(1)進行 Lyapunov指數(shù)分析，如圖1所示。

圖1 Lyapunov指數(shù)Fig.1 Lyapunov Exponents(LE)

圖中:kLE1=19.452 1，kLE2=0.228 581，kLE3=－3，kLE4= －44.680 4。

系統(tǒng)(1)的所有Lyapunov指數(shù)和為負，且有兩個Lyapunov指數(shù)為正。因此，所構建的系統(tǒng)為超混沌系統(tǒng)。

對于系統(tǒng)(1)，由于散度

所以，包含系統(tǒng)軌線的每個體積元均以指數(shù)率e－28t收斂。所有系統(tǒng)的軌線最終會被限制在一個體積為0的極限點集上，并且它的漸近動力學行為會被固定在一個吸引子上，這說明了混沌吸引子的存在性。由Matlab仿真得到的吸引子如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)(1)的相軌跡圖Fig.2 Hyperchaotic attactors of System(1)

2 系統(tǒng)的電路實現(xiàn)

為了驗證系統(tǒng)(1)的超混沌行為，設計了實現(xiàn)該四維超混沌系統(tǒng)的電路如圖3所示。該混沌電路主要由3個部分構成:集成運算放大器，模擬乘法器，線性電阻、電容。其中，集成運算放大器采用LF353芯片，用來實現(xiàn)電路加減運算和積分運算;模擬乘法器采用AD633芯片，用來實現(xiàn)系統(tǒng)(1)的非線性項。電路的輸出電壓分別對應系統(tǒng)(1)中的x，y，z，u。

電路的Multisim仿真得到的相軌跡如圖4所示。與Matlab仿真結果完全一致。

圖3 四維超混沌系統(tǒng)的實現(xiàn)電路Fig.3 Circuit for Realizing Hyperchaotic System(1)

圖4 系統(tǒng)(1)實現(xiàn)電路的相軌跡圖Fig.4 Hyperchaotic attactors of System(1)

3 四維超混沌系統(tǒng)在信號加密中的應用

對于信號的加密采用的是混沌隱藏技術，用此技術可以傳遞模擬和數(shù)字信息，其思想是以混沌同步為基礎，利用混沌信號的偽隨機性，把混沌信號疊加到被加密的信號上，即把要加密的信號隱藏在混沌信號中，實現(xiàn)對原有信號進行混沌加密［12－15］。若需還原原信號，則接收端的混沌信號解調裝置必須與發(fā)射端相同步。以此達到保密通信的目的。本文綜合運用多次迭代及混沌信號相加減的方法對原始方波信號進行混沌隱藏加密，如圖5(a)所示。

在信息傳遞的過程中，為確保原信號不被第三方察覺，發(fā)送方與接收方可事先約定把混沌信號的相加減和迭代次數(shù)設定為密碼，更有利于保密。如圖5(b)所示。被加密的方波信號經過了5次迭代加密，且迭代次數(shù)越多，加密效果越好，越不易被破解，即確保了信息傳遞的安全性。解密信號就是加密信號的逆過程，必須知道原混沌源以及加密的相加減的方法和迭代次數(shù)，否則將無法解密出原有的信號，如圖6所示。

圖5 待加密方波信號的仿真模型Fig.5 Simulation Model of Square Wave Signal to be Encrypted

圖6 方波信號的加密與解密仿真Fig.6 Simulation of Square Wave Signal to be Encrypted and Decrypted

4 結論

本文構造了一個新的四維超混沌系統(tǒng)，通過Lyapunov指數(shù)分析和計算機仿真，得出如下結論:

1)Lyapunov指數(shù)分析證明了該系統(tǒng)具有超混沌特性。

2)系統(tǒng)的Matlab仿真結果與相應的實現(xiàn)電路的Multisim仿真結果完全一致，證明了該系統(tǒng)的可實現(xiàn)性。

3)為混沌加密通信提供了新的信號源，利用該四維超混沌系統(tǒng)對信號進行加密研究，通過對混沌信號的相加減和迭代次數(shù)設置密碼，增加了解密難度，進一步說明了該系統(tǒng)的實用性。

4)所設計的電路結構簡單，成本低廉，調試容易，便于實現(xiàn)。

另外隨著混沌研究的不斷深入，構造出新的更高維數(shù)的混沌吸引子并實現(xiàn)其技術應用，將為混沌研究開辟出新的思路，也將為信息加密提供更加寬廣的應用前景。

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