一種具有預測功能的抗積分飽和PI速度控制器

周華偉， 溫旭輝， 趙峰， 張劍

(1.中國科學院電工研究所，北京100190;2.江蘇大學電氣信息工程學院，江蘇鎮江212013;3.中國科學院 研究生院，北京100190)

0 引言

永磁同步電機以其高效率、高功率密度和高轉矩/慣量比特性在調速系統中得到了廣泛的應用。傳統PI控制算法簡單、魯棒性好、可靠性高、易于實現，因此速度控制一般采用PI策略［1］，但是由于傳統PI的設計是根據系統局部區域線性化設計的，忽略了飽和區的非線性。在線性區對給定小階躍以及小負載擾動很有效;若給定大階躍，PI往往飽和而工作于非線性區，但PI仍按線性區調節，必然導致大的超調、震蕩、響應速度變慢等問題［2］。為追求系統的動態響應速度，需要較大的Kp，為防止積分飽和而引起超調，Ki一般很小甚至為零;為確保系統的穩態性能，希望較大的Kp和Ki。因此對于傳統PI，一套固定的PI參數無法解決系統穩態性能與動態性能、響應快速性和超調量、跟蹤與抗擾等方面的矛盾［3］;若采用多套PI，理想的切換點須反復實驗方能獲取。

為改善傳統PI的不足，學者們提出了不同的策略。變參數 PI［1］根據誤差大小及時調整 PI參數;非線性 PI［4－5］通過非線性函數確定 PI參數;模糊PI［6－7］由模糊控制器根據誤差和誤差的變化率實時整定PI參數。雖然這些方法經過反復試驗能整定出合適的PI參數，獲得理想的性能，但是以犧牲響應速度換取零超調的。積分分離PI［8］根據誤差大小在合適的切換點切換P模式和PI模式，但切換點的選擇得通過反復試驗獲得或者轉矩指令的在線頻譜分析得到。IP控制［9］使系統傳遞函數的分子中不含微分項，因此當給定階躍時能有效削弱超調的發生，但其動態響應速度需加快?；Ｗ兘Y構控制［10－11］根據系統當前狀態有目的地調節，迫使系統按預定狀態軌跡運動，但是在穩態時系統輸出轉矩存在高頻抖振現象，這可能導致機械共振。抗積分飽和PI［12］在積分器飽和時，限制積分器作用。經典的抗積分飽和PI算法有:條件積分 PI［2］;回溯算法 PI［13－14］等。盡管該策略充分利用了線性系統控制理論和設計方法，但是由于采用分步法設計原則，系統穩定性和動態性能缺乏預見性［15］。

文獻指出非線性校正裝置能成功解決快速性和振蕩度之間的矛盾。本文在傳統PI中引入非線性思想，提出一種具有預測功能的抗積分飽和PI速度控制策略，且將其和傳統PI以及回溯算法PI在兩臺額定功率為20 kW的永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor，PMSM)構成的對拖臺架上進行對比實驗。實驗結果表明該策略具有更好的動態性能且能保留傳統PI的魯棒性能以及穩態性能。

1 具有預測功能的抗積分飽和PI速度控制

1.1 控制策略的提出

電機期望的調速性能是:速度給定階躍時，系統響應快速且無超調，即在遠離目標轉速時能以最快的加速度趨近目標，而當離目標較近時其響應速度以負指數規律衰減，如圖1所示。

圖1 給定階躍時速度調節器期望性能示意圖Fig.1 The expected performance of speed controller when the reference steps

PI控制器不但在系統中引入了一個純積分環節，而且還引進了一個開環零點。純積分環節能有效地改善系統的穩態性能，零點有助于改進系統的穩定性能。PD控制器的優點“提前性”、“預見性”［16－17］不但能反映誤差信號的變化趨勢，而且能在誤差信號尚未出現之前就在系統中發出一個有效的早期修正信號，從而有助于系統的穩定，并抑制過大的超調量;但微分存在著將高頻干擾信號同時放大的缺點，因此微分控制較少使用。

圖2 PI控制器Fig.2 PI controller

吸取PD控制器的優點，消除PI控制器的缺點，設計具有預測功能的抗積分飽和PI控制器，原理圖如圖2(a)所示。傳統PI原理圖可等效為圖2(b)，可見本文所設計PI和傳統PI唯一區別就是積分方向的控制，其利用PD預測性能，根據PD輸出值的符號決定積分方向。系統在響應給定階躍的過程中，當e(t)較小時積分器能及時反向積分，而不是等e(t)方向改變了才反向積分，實現了積分器的提前退飽和，大大減小了系統的超調機率。文獻［18］指出積分作用可以一定程度的削弱高頻開關導致的抖振現象，由于PI中含有積分項，能抑制PD頻繁改變符號導致的抖振現象。

1.2 速度控制器設計和性能分析

電機轉速環控制系統框圖如圖3所示，電機運動方程［10］為

式中:J是電機轉動慣量;ω電機轉速，單位rad/s;B是粘滯阻尼系數;TL是負載轉矩;KT是轉矩電流系數;i(t)是電機電流。

圖3 具有預測功能的抗積分飽和PI系統框圖Fig.3 The system block diagram of the predictive antiwindup PI

轉速誤差e(t)以r/min為單位，忽略粘滯阻尼系數，則由式(1)得

電流環動態響應速度遠快于速度環，因此電流的動態響應速度可以忽略，認為電流完全跟隨，Gc(s)=1。設轉速環PI控制器輸出上限為SL，下限為－SL。當給定轉速n*正向大階躍時，PI控制器飽和輸出SL，由式(2)求得e(t)為

式中e(0)是初始轉速誤差。

由于所設計PI中積分方向由sgn(e+Kd˙e)決定，當e＞－Kd˙e時，積分方向由sgn(e)決定，此時所設計PI和傳統PI一樣，因此只要選擇合適的PI參數就能保證系統穩定;當e＜－Kd˙e，積分方向由sgn(Kd˙e)控制。為保證系統在適當的時候既能及時退出飽和，又不影響系統的性能，應選擇合適的Kd。式(4)決定了積分方向變換點。

將式(3)代入式(4)得積分項退飽和時的轉折點為

由式(4)知t1后積分方向改由sgn(Kd)控制，積分項開始退飽和，但是由于PI控制器中比例項的作用，PI控制器仍處于飽和狀態，于是e(t)繼續按式(3)減小，只有當積分項退飽和部分的絕對值等于比例項時，PI才處于退飽和臨界點，于是有

式中積分起始點為式(5)中(t1，e(t1))。

將式(3)代入式(6)，得PI控制器退飽和臨界點為

由此可見要加快系統的響應速度，應充分利用PI飽和。由式(7)知，PI參數決定了系統使用PI飽和的時間和退飽和時剩余轉速誤差。

當PI退出飽和后，PI才起作用，此時積分方向仍由sgn(Kd˙e)控制，積分項繼續反向積分，PI輸出減小，于是以(t2，e(t2))為原點，系統方程為

由式(8)求得誤差轉速，反拉氏變換后得

式中:

由式(9)得

根據式(10)可證明(a+c)e(t2)－b2＞0成立。

在積分方向由sgn(Kd)控制時，為保證積分方向能變為sgn(e)控制，系統進入傳統PI，要求e+Kd˙e＞0，于是由式(9)和式(11)得

根據前面分析，式(12)第一項絕對值為遞減指數函數，第二項絕對值為遞增指數函數，因此要使式(12)在t2后再經一段時間t方成立，只有

由式(7)、式(10)求得式(13)成立的條件為

由式(12)求得時間t

因此當Kd滿足式(14)時，PI積分方向能由sgn(Kd˙e)控制變為sgn(e)控制，系統能進入傳統PI控制。在傳統PI控制中，當PI比例部分減小量的絕對值小于積分部分增加量的絕對值時PI輸出增加，˙e(t)增加，e(t)減小，當滿足e(t)+Kd˙e(t)＜0時，積分方向改由sgn(Kd˙e)控制。如此按式(5)不斷變換積分方向，使e(t)按式(16)趨于零，實現了無超調控制，如圖4所示。

式中:e(t3)是積分器退出飽和后積分方向開始由sgn(e)決定時的轉速誤差。

圖4 本文所提PI工作原理示意圖Fig.4 The schematic diagram of the proposed PI

由式(16)知Kd的大小直接決定著e(t)趨于零的速度，Kd越小，系統響應速度越快，但是其響應速度不可能超過其最大加速度，因此Kd不能無限減小，同時Kd受式(14)的限制。因此

同樣可推出當給定轉速負向大階躍時，e(t)的變化情況與正向時相同，只是符號相反。

因此該預測功能的抗積分飽和PI控制器能將系統響應的快速性和無超調完美地結合起來。系統控制框圖如圖所示。

圖5 系統控制框圖Fig.5 System control diagram

1.3 穩定性證明

本文所設計的PI控制器不飽和時輸出電流指令值為

選擇李亞普諾夫函數V=0.5S2，由李亞普諾夫穩定性理論得

根據式(1)、式(2)和式(18)按式(19)要求得

由此可見當˙eS＜0時，系統會自動調整S的方向使˙eS＞0。

2 實驗驗證

為驗證本文所設計的具有預測功能的抗積分飽和PI速度控制器性能，使用兩臺額定功率為20 kW的PMSM搭建了對拖臺架，進行了恒負載轉矩下轉速階躍實驗和恒轉速下負載轉矩階躍實驗，且和傳統PI以及如圖6所示的回溯算法PI進行了實驗對比。

PMSM參數為:額定功率 20 kW，額定轉速2 500 r/min，極對數3，定子相電阻26 mΩ，d軸電感0.52 mH，q軸電感1.02 mH，永磁磁鏈0.129 Wb。實驗中母線電壓為320 V，最大轉矩/電流角δ設定為20度，PI參數見表1。轉速使用NI CAN卡記錄，電流波形采用PEMUK羅氏線圈CWT1和泰克示波器DPO3054測量。

圖6 回溯算法PIFig.6 Anti-windup PI based on tracking back calculation scheme

表1 PI參數Table 1 PI parameters

在負載為70 N·m時按表2進行轉速階躍實驗。由圖7～圖9知使用傳統PI速度控制策略轉速從1 000 r/min階躍到2 500 r/min需要1.5 s且存在365 r/min的超調，從2 500 r/min階躍到1 000 r/min需要1.4 s且存在35 r/min的超調;盡管回溯算法PI解決了超調問題，但是需要的調速時間仍然較長;而采用本文提出的PI速度控制策略調速時間分別為0.86 s和0.76 s，大大的縮短了調速時間，同時解決了速度超調的問題，另穩態時不存在穩態誤差。由電流波形分析得到本文提出的PI速度控制策略有效地利用了PI飽和特性，適當地延長了系統最快響應速度段的時間;同時該PI策略能及時退出積分飽和，使轉速誤差以負指數規律衰減為零，避免了超調的發生。因此本文提出的PI算法具有優良的動態響應品質，在滿足無超調的同時實現了系統的快速響應，且具有良好的穩態性能。

表2 負載為70 N·m速度給定階躍Table 2 Steps of reference speed at TL=70 N·m

為進一步驗證本文提出的PI控制策略的抗負載擾動的魯棒性能，按表3在2 500 r/min轉速下進行了負載轉矩階躍實驗。由圖10～圖12知負載轉矩在25 N·m和95 N·m之間階躍時，3種PI速度控制器都能把電機轉速波動控制在160 r/min以內;傳統PI控制策略和回溯算法PI控制策略使電機轉速恢復用時均為1.18 s和1.04 s，而本文提出的 PI策略需1.22 s和1.1 s使電機轉速恢復，因此本文提出的PI控制策略使電機轉速恢復時間略長于傳統PI和回溯算法PI，主要原因是由于在該情況下本文提出的PI控制策略沒能利用PI飽和特性，另外在趨近穩態過程中是以負指數規律趨近的。由此可見基于預測功能的抗積分飽和PI速度控制器保留了傳統PI的魯棒性。

表3 轉速2 500 r/min時負載轉矩突變Table 3 Steps of load torque at n*=2 500 r/min

圖7 傳統PI速度響應性能Fig.7 Speed response performance with the traditional PI

圖8 回溯算法PI速度響應性能Fig.8 Speed response performance with PI based on tracking back calculation scheme

圖9 本文提出的PI速度響應性能Fig.9 Speed response performance with the proposed PI

圖10 轉矩突變時傳統PI速度控制器速度抗擾性能Fig.10 Speed anti-disturbance performance with the traditional PI

圖11 轉矩突變時回溯算法PI速度控制器速度抗擾性能Fig.11 Speed anti-disturbance performance with PI based on tracking back calculation

圖12 轉矩突變時本文設計的PI速度控制器速度抗擾性能Fig.12 Speed anti-disturbance performance with the proposed PI

3 結論

1)傳統PI利用積分飽和作用加快系統響應速度會導致超調，而本文提出的具有預測功能的抗積分飽和PI速度控制策略有效地利用了積分飽和作用，加快了系統響應速度;同時利用PD的預測功能，在誤差為零前，及時調整積分方向，退出積分飽和，避免了超調的發生。

2)理論分析和實驗驗證了該策略能使轉速快速跟隨，無超調、不震蕩、無穩態誤差，且保留了傳統PI的魯棒性能和穩態性能。

3)該策略只使用一套PI參數，參數整定比較方便。

4)將該策略用于搭載機械式自動變速器(AMT)的純電動汽車中的驅動電機調速控制，能滿足AMT換擋品質的要求，即要求驅動電機具有調速的快速性、無超調等動態品質。

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