連續自然數冪的二項分解

符云錦

（鳳凰縣兩林學區，湖南鳳凰 416211）

眾多數學家對n個連續自然數的m次冪之和的計算問題，進行了大量的探究〔1-13〕，取得了許多成果，在此，出現了多種方法。本文相應地提出了一種新的方法，即利用二元方數及組合數可以直接分解其冪和。同時，也得出連續自然數冪和的計算式，這對培養學生發現問題和抽象概括的能力，以及提高學生的數學素養具有很大的改善作用。

1 幾個定義和性質

定義1 對任意兩自然數i，j，定義如下運算：

（Ⅰ）若 i·j＝0 且 i＋j≠0，則 Ai，j＝0；

（Ⅱ）若 i＜j，則 Ai，j＝0；

（Ⅲ）若 j＝1，則 Ai，j＝i??；

（Ⅳ）若i≥j，則Ai，j＝（Ai－1，j－i＋Ai－1，j）（i－j＋1）。

則稱 Ai，j為二元方數，記 A＝｛Ai,j｜Ai,j滿足定義 1 的四個條件｝，并且規定 A0，0＝1。

定理 1 ?Ai，j∈A，則

1）A1，1＝1；

2）Ai，0=0，A0，j=0；

3）Ai，i+n=0，其中 n∈N+；

4）Ai，i＝Ai－1，i－1＝…＝A0，0＝1；

5）?i,j∈N，有 Ai，j≥0。

證明：1）由（Ⅲ）知 Ai，1＝i！，令 i＝1，則 A1，1＝1。

2）由（Ⅰ）知 i·j＝0 且 i＋j≠0，則 Ai，0=0，A0，j=0。

3）因為 i+n＞i，由（Ⅱ）知 Ai，i+n=0。

4）由（Ⅳ）知Ai，j＝（Ai－1，i－1＋Ai－1，i）（i－i＋1）＝A－1i，i－1。故有 Ai，i＝Ai－1，i－1＝…＝A1，1＝A0，0＝1。

5）當 i＜j時，Ai，j＝0；當 i＝j時，Ai，j＝1；當 i＞j時，由（Ⅳ）可知 Ai，j≥0。

定義2 對任意兩自然數n，r，定義：

為組合數〔14〕。我們規定：C0r＝1，Cn0＝1。

顯然，定義2所定義的組合數同樣滿足文獻［14］中所有的性質。此外，本文還得出如下性質。

定理 2 C1r＋C2r＋…＋Cnr＝Cn＋1r＋1。

證明：∵r＋1＞1，∴C1r＋1＝0，有

2 新三角

對部分數Ai，j進行如下排列：

表1

我們發現，成倒立三角形的上兩頂角數之和，乘以空位行數，通過計算就可以得到一種新的三角數：

表2

3 主要結論

定理3 對任意兩自然數n，r，則

證明：用數學歸納法。

(3)原有的知識基礎。即在學習過程中所積累知識經驗。當學習者具備一定上網技能和原有知識基礎時，能更好參與信息瀏覽和控制信息檢索，減少無關信息的干擾，提高檢索和學習效率。

第一步，當 r＝1 時，右邊＝A1，1Cn1＝1·n＝n1＝左邊；

第二步，假設當 r＝k 時，（1）式成立，即：

當 r＝k＋1 時，

注意到：

把上各式等號兩邊相加，可得：

綜上所述，（1）式成立。

從定理3可知，把任意自然數n的r次冪可以展開成二元方數與組合數積的和，而在nr展開式中，每個組合數前的系數就是在新三角中的第r行的二元方數。

定理證畢。

根據定理2得：

定理證畢。

4 一個猜想的簡單解決

著名的波文（Rufus Bowen）猜想〔15-16〕為：方程

只有唯一（n＝1，m＝2）的正整數解。

下面給出最簡單的證明。

成立。

只需解組合數方程Cm＋1n-i＋2＝Cm＋1n-i＋1（i＝1，2，…，n）對所有的i都成立。解得n＝1，m＝2。

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