基于小波－卡爾曼濾波的基波分量提取

孫旭霞，郭永勝

（西安理工大學自動化與信息工程學院，西安710048）

目前，大多數繼電保護以故障后的穩態基頻分量作為判據，如何從故障暫態信號中快速、準確地對基頻電流、電壓進行估計是微機保護算法面臨的主要問題。在通常情況下，估計精度的高低取決于數據窗的長短。常見的微機保護算法有全波傅里葉算法、半波傅里葉算法、最小二乘算法與卡爾曼濾波算法。全波傅里葉算法能濾除所有整次諧波分量，穩定性好，但數據窗需1個周期，使其對近區故障無法快速反應［1，2］。半波傅里葉算法能夠在半個數據窗內對故障基頻分量進行估算，但其對低頻分量的抑制效果不好，而且對偶次諧波有一定的放大作用，在完全利用故障后數據進行濾波時，該算法的時間響應波動較大［3］。最小二乘算法從頻域角度看相當于全零點濾波器，但當故障信號模型和干擾信號的分布特性難以準確估計時，其濾波精度以及暫態時延無法保證［4］?？柭鼮V波算法是具有時變數據窗特性的濾波算法，適用于平穩過程也適用于非平穩過程，對噪聲有很好的抑制作用，被廣泛應用于頻率跟蹤、諧波分析等場合，但其濾波精度以及暫態時延也無法同時兼顧［5～6］。

本文提出了一種卡爾曼濾波結合小波變換的基波分量提取方法，即用卡爾曼濾波模型估計基波分量特征，結合sym4小波變換高頻分量模極大值來捕捉故障發生時刻，在故障發生時刻更新增益系數和誤差協方差矩陣，從而減少了卡爾曼濾波模型的響應時間，保證了微機保護對故障的快速響應。

1 算法原理

1.1 基于卡爾曼濾波估計提取基波的原理

1.1.1 Kalman濾波的基本原理

故障電壓、電流信號的Kalman諧波模型有多種，文中采用如下線性模型［5，8，10］。

其中：H為故障信號的最高諧波次數（本文中考慮H ＝5），Δf基波頻率偏移；Ah各諧波幅值；Ae、β為衰減直流分量的幅值及時間常數；θh為h次諧波初始相位；v（t）為噪聲信號。

取狀態變量：

狀態方程為

測量方程為

xi（k）、xi（k＋1）為k、k＋1時刻的系統狀態，wi（k）、v（k）是均值為0、方差分別為σw2、σv2白噪聲，且滿足：

1.1.2 濾波參數選取

濾波參數選取是決定卡爾曼濾波算法性能好壞的關鍵。常用的方法是大量試湊，直到系統穩定，對系統調試很不利。經過分析和總結，本文給出以下參數選取思路。

由于在協方差矩陣中缺少充分的非對角元素統計信息，通過大量仿真實驗后，證明在非對角元素為非零的情況下，相對于對角元素的值對系統穩態的影響可以忽略，因此假設三個協方差矩陣為對角矩陣是成立的。所以通常情況下將協方差矩陣非對角元素設為零，這樣很大程度上減少了未知參數的個數。協方差矩陣（0）表征了系統的動態信息，改變（0）中對角元素的值，可以改變系統瞬態性能，而系統穩態性能不受影響。Q表征了系統模型的統計特性，增加Q中元素的值，等價于增加系統噪聲或增加系統參數的不確定性，從而使得增益矩陣Gf增大，加大了系統校正權值，提高了系統動態性能和穩態值。矩陣R表征了測量噪聲，增加R中元素的值，意味加大測量噪聲的影響，同時使Gf減小，減弱系統校正權值，降低了系統瞬態響應和穩態值。所以矩陣Q和R的選取具有矛盾性，二者進行選取時，應視具體情況權衡而定。

1.2 小波變換及其模極大值

設任意函數f（x）∈L2（R）為平方可積函數組成的Hilbert空間，小波變換可定義為［9］

①定義域是緊支撐的，即只有小的局部非零定義域。

②容許條件，即

在某一固定尺度a下，若?x∈（x－δ，x＋δ），有｜Wsf（x）｜≤｜Wsf（x0）｜成立，則稱x0為小波變換的模極大值點，｜Wsf（x0）｜稱為模極大值。

信號的突變點可由小波變換的模極大值來反映，本文中對基波分量估計值進行小波變換，當故障發生時，基波分量估計值會出現瑕疵，在小波高頻分量中會出現模極大值，可確立故障信號的發生時刻［12］。

本文中選用sym4小波，因為symlets小波是正交的時域緊支小波，此特性使其具有良好的計算性；自身良好的對稱性可使信號的分解與重構避免失真。在symlets小波系列中，由于sym1小波的濾波器不連續，不能使用；sym2、sym3小波的濾波器長度較短，對信號奇異點的敏感性不強。綜合考慮數據窗長度及對奇異點的敏感性，確定采用sym4小波來監測基波分量的突變時刻［9］。

算法整體流程如圖1所示。

圖1 小波 －卡爾曼提取基波分量流程Fig.1 Flow chart of fundamental component detection using wavelet and Kalman filter

2 算例分析

為深入分析該算法的可行性，本文進行了大量仿真驗證。限于篇幅，只針對如下幾種電流信號模型進行仿真分析。仿真中，采樣頻率為10kHz，R＝0.1001［10，11］。

2.1 基波頻率

基波信號頻率在一定范圍內動態波動，信號模型如下：

由圖2可知，在基波頻率存在微小波動時，本算法對頻率波動有一定魯棒性，不因頻率波動而出現較大的波動值，而全周傅氏算法則出現較大的波動。且由圖2（c）可看出，基波分量估計值重構高頻分量不因頻率波動而發生突變。

圖2 頻率波動時幅值計算及高頻分量Fig.2 Magnitude calculation and high frequency component with frequency fluctuation

2.2 基波幅值

運行過程中在某一時刻發生故障，基波幅值變化，暫態信號中混有高次諧波及衰減直流分量。

2.2.1 故障信號模型1

信號模型為式（10），濾波響應如圖3所示。

圖3 系統運行過程中發生故障Fig.3 Fault in the period of running

2.2.2 故障信號模型2

信號模型為式（11），濾波響應如圖4所示。

圖4 系統運行過程中發生故障Fig.4 Fault in the period of running

由圖3、4可知，在發生故障時，與全波傅氏算法相比，采用相電流差 －卡爾曼濾波算法和小波－卡爾曼濾波算法受衰減非周期分量及高次諧波的影響小，能夠更準確地提取基波分量，使卡爾曼濾波算法響應速度明顯加快。但由圖3（e）、4（e）可看出，相電流差 －卡爾曼濾波算法在基波突變時刻得出的相電流差跳變值較小，且其明顯小于卡爾曼濾波在開始適應無故障信號所得到的相電流差值，所以在應用此算法時必須跳過卡爾曼濾波算法自身適應時間再做判定，以免造成誤判。但由圖3（f）、4（f）可看出，小波－卡爾曼濾波算法在故障發生時刻，基波分量估計值重構高頻分量有較大的突變，且明顯大于卡爾曼濾波在開始適應無故障信號所得到的重構高頻分量值，充分體現了小波算法“數學顯微鏡”的美譽。因此，本算法不僅能準確地提取基波分量并且很大程度上加快了卡爾曼濾波器的響應，而且能精確捕捉故障發生時刻，不受卡爾曼濾波器自身適應過程的影響。

2.3 仿真測試

針對某750kV輸電線路EMTP仿真單相接地故障時的電流波形以及新算法對仿真數據的濾波結果。

新濾波算法的仿真測試模型及結果如圖5所示。

另外，本算法還用于線路短路故障并做了大量的驗證工作，結果表明該算法能精確捕捉故障發生時刻，可以較準確地提取基頻分量，保證了微機保護的精確實時動作。

3 結語

由仿真結果表明：本算法對基波頻率在一定范圍動態波動時具有很好的魯棒性，而這一特點更符合實際系統中基波信號的運行規律，即頻率大部分時間在較小的范圍內（一般系統頻率波動范圍為（50±0.2）Hz，當系統容量較小時，頻率波動范圍為（50±0.5）Hz）［5］波動。當發生故障時，本算法可精確捕捉故障發生時刻，不因噪聲影響而產生誤差，并且在一定程度上縮短了卡爾曼濾波模型的響應時間，達到對基波分量精確快速的提取。與全波傅氏算法比較，證明了該算法在提取基波分量的精度及實時性上都有一定優越性。因此，本算法具有響應速度快、濾波效果好的特點，能滿足繼電保護快速跳閘和準確動作的要求。

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