表貼式永磁無刷電機直接解析計算方法

李節寶 井立兵 周曉燕 章躍進

（上海大學機電工程與自動化學院 上海 200072）

1 引言

永磁電機氣隙磁場分析是電機設計和性能計算的基礎。表貼式永磁無刷電機二維氣隙磁場可以采用數值法或解析法求解。有限元法適應性強、計算精度高，但建模和計算時間較長，在電機的優化設計中并不方便。解析法物理概念清晰，解析函數式較直觀地反映各參數與磁場分布的關系，參數調整方便，計算量小、速度快，有利于電機的優化設計和結構調整。

在電機解析模型的分析中，最困難的工作之一就是如何準確計算開槽對氣隙磁場的影響。關于解析法用于開槽電機氣隙磁場計算的研究已有大量的文獻。文獻[1,2]較早提出在極坐標系下采用標量磁位法計算表貼式徑向充磁永磁無刷電機的氣隙磁場。首先計算未開槽時電機氣隙磁場，然后利用保角變換求得電樞開槽時的氣隙相對磁導函數，并與無槽時的氣隙磁場相乘，從而得到計及開槽效應的二維氣隙磁場。該方法存在槽口切向磁場分量被隱沒的問題，影響麥克斯韋應力張量法計算電磁轉矩的精度；文獻[3]引入復數相對磁導函數，克服了切向氣隙磁通密度分量被隱沒的缺點。但非線性復磁導函數求解過程復雜、計算時間長。以上方法均采用無限深單槽模型，不考慮槽與槽之間的影響，且無法知道槽內磁場情況，不利于繞組感應電動勢的精確計算。文獻[4]將求解區域劃分為氣隙區域和槽形子區域，利用兩區域重疊部分的計算結果作為另一區域的邊界條件，從而計算出開槽時的氣隙磁場。兩區域磁場交替計算，經若干次迭代得到滿足精度的結果。該方法考慮了實際槽形分布，計算結果更符合實際，但槽形種類多，難以獲得統一的解析模型。文獻[5,6]分別將標量磁位解析法、矢量磁位解析法與差分法相結合計算表貼式永磁無刷電機磁場，文獻[7]將解析法和等參元法結合計算分數槽永磁無刷電機的氣隙磁場。解析法與數值法結合能精確地處理各種復雜槽型，計算速度快于數值法，但計算過程中需要反復迭代，因此計算時間仍較長，且計算精度要受到迭代精度影響。

文獻[8]建立了外轉子表貼式永磁無刷電機直接解析法模型，并以一臺簡化的四極電機為例計算了其空載氣隙磁通密度和齒槽轉矩。本文根據文獻[8]的基本思路，建立了內轉子永磁無刷電機直接解析模型。直接解析法形成的整體系數矩陣十分龐大，為了減少一次求解的計算量，本文采用槽內磁場與氣隙磁場分步求解的方法，有效降低了系數矩陣維數，并利用周期性條件減少計算量。

根據表貼式內轉子徑向充磁永磁無刷電機模型結構特點，將解析模型劃分為三個子區域，即氣隙、永磁體和槽區域，分別建立了各區域矢量磁位拉普拉斯方程或泊松方程，并由交界條件連接各子區域方程式，采用直接解析法求得空載氣隙磁場和槽內磁場解析表達式。通過對一臺44極48槽內轉子表貼式徑向充磁永磁無刷電機實際樣機計算及計算結果的比較，驗證了本文模型推導的正確性和該方法的有效性。計算速度相較有限元法和解析數值結合法有明顯提高。

2 直接解析法空載磁場計算基本原理

表貼式永磁無刷電機（以內轉子電機為例）定子鐵心內表面開槽后，不僅對氣隙主磁場分布產生影響，且相鄰槽之間也會有影響。為了便于分析，作如下假設：

（1）計算場域為二維磁場，忽略端部效應。

（2）定、轉子鐵心磁導率無窮大。

（3）永磁體徑向充磁且相對磁導率μr=1。

（4）定子槽為徑向直槽，空載槽內無電流。

根據電機物理結構和材料屬性，整個求解區域劃分為三部分：氣隙區域 I、永磁體區域 II和槽區域 Si(i=1,2,3,…Q)，二維極坐標系下電機物理模型及求解區域劃分如圖1所示。

圖1 表貼式永磁無刷電機求解模型Fig.1 Model of a surface-mounted PM motor

圖1a中Rr為轉子鐵心外半徑，Rm為永磁體外半徑，Rs為定子內半徑，Rsy為計及槽深后槽底與轉子中心的距離，β 為槽口寬度（以下計算中轉換為弧度），θi為第i槽距離初始設定基準位置間的角度，模型建立初始時刻磁極S極正對槽中心線處，因此，θi=-β/ 2+2iπ/Q，Q為槽數。

2.1 氣隙和永磁體區域矢量磁位數學模型

永磁體徑向充磁，在二維極坐標系下只有z軸分量有效，由傅里葉分解得其磁化強度M表達式為r和θ 的函數[1]

式中 v——永磁體磁場計算諧波次數；

p——極對數；

θ0——永磁體與初始設定的基準位置間偏移角度，本文模型中為0；

αp——極弧系數。

在極坐標下氣隙區域I和永磁體區域II矢量磁位方程式為如下：

氣隙區域I拉普拉斯方程

由分離變量法得以上區域通解表達式如下[9]

式中，m為槽數Q和極對數p的最大公約數。

極坐標系中，磁感應強度與矢量磁位有如式（6）的關系

因此，結合式（6），由圖1電機物理模型和材料屬性可得如下氣隙和永磁體區域的邊界條件

2.2 槽區域矢量磁位數學模型

由于采用了直槽模型，簡化了槽區域邊界條件，便于其矢量磁位拉普拉斯方程的求解。空載時二維極坐標系下第i槽的矢量磁位拉普拉斯方程為

由分離變量法得槽區域通解[8]

式中 k——槽區域磁場諧波次數，k=1,2,3,…。

由于槽口處磁位連續，可利用槽口處氣隙區域矢量磁位傅里葉分解求得槽區域矢量磁位常數和各次諧波次數系數表達式，如下式

由式（4）、式（5）、式（12）及邊界條件式（7）和式（14），可解得氣隙和永磁體區域區域矢量磁位系數 AIn、BIn、CIn、DIn和 AIIn、BIIn、CIIn、DIIn表達式（見附錄A.1）。又由式（10）和式（11）可知，在得到氣隙區域矢量磁位 AI(r,θ)后即可解得槽區域矢量磁位系數（見附錄A.2），由此便能求解出槽區域的磁場分布。

3 齒槽轉矩和空載反電動勢計算

齒槽轉矩和空載反電動勢是對電機負載運行性能有重要影響的兩個量，其準確計算對于電機設計和性能分析十分重要。在獲得空載氣隙磁場和槽區域磁場分布后，即可較方便地計算出這兩個參數。

3.1 齒槽轉矩計算

齒槽轉矩由定子開槽引起，與定子電流無關。計算電機的齒槽轉矩主要有兩種方法：虛位移法和麥克斯韋應力張量法。虛位移法的缺點是計算繁復且效率較低，而麥克斯韋應力張量法計算轉矩只需要在氣隙內部沿圓周進行一次線積分，理論上計算結果與積分路徑無關，結合本文直接解析法特點，選用麥克斯韋應力張量法計算齒槽轉矩，由式（4）和式（6）可得齒槽轉矩計算表達式為

由式（15）可以看出，只要求出氣隙區域 I矢量磁位 AI(r,θ)表達式系數即可較方便地求得齒槽轉矩。

3.2 感應電動勢計算

空載反電動勢計算常用的方法有磁鏈分解法、磁位分解法和磁鏈微分法。由于磁鏈分解法和磁位分解法只能計算出某一固定時刻的值，而不能求出動態的隨時間變化的空載反電動勢波形，因此本文計算中采用磁鏈微分法

式中 ω——機械角速度。

假設繞組線圈在槽內均勻分布，則單個槽內磁鏈計算可由該槽內矢量磁位積分獲得, 由于每槽為雙層繞組，故每個繞組的磁鏈表達式為

通過計算轉子在不同時刻的繞組磁鏈，即可獲得轉子位置角函數的相繞組磁鏈波形，從而可以很方便地求得轉子在任意速度旋轉時相繞組反電動勢。

4 解析計算結果分析比較

為了驗證本解析計算方法的有效性，本文利用以上解析計算模型，對一臺44極48槽內轉子結構永磁無刷電機空載氣隙磁場、齒槽轉矩和反電動勢進行計算，計算結果同二維有限元計算程序計算結果及實驗波形作比較。電機基本數據為定子內徑90mm，單邊氣隙長度 0.8mm，槽口寬 1.6mm，槽深 22.5mm，繞組匝數 50，鐵心軸向長度 50mm，永磁體厚度8mm，極弧系數ap=0.9，剩磁Br=1.25 T。計算中氣隙區域磁場諧波次數n取 275，槽區域磁場諧波次數k取200。計算結果及比較如圖2所示。

圖2a和2b為空載氣隙磁場徑向磁通密度和切向磁通密度波形，圖中分別標識了直接解析法計算結果和有限元法計算結果以作比較。

圖2 空載氣隙磁通密度波形比較Fig.2 The comparison of flux density waveform in the middle of the air-gap

由圖2波形比較分析可知，圖中徑向磁通密度曲線的下凹對應定子槽引起的磁通密度的下降；由于齒邊緣區域的氣隙磁導急劇變化引起聚磁效應，使得徑向和切向氣隙磁通密度計算結果圖形在齒邊緣出現一個磁通密度尖峰。從圖中可看到直接解析法計算相對有限元計算結果在齒邊緣的聚磁效應要稍微偏弱，但整個波形均吻合較好，可見本解析計算方法是準確有效的。

圖3為直接解析法和有限元法計算的齒槽轉矩一個周期變化波形比較。理論上齒槽轉矩的最低次諧波是極數p和槽數Q最小公倍數，因而理論周期為(22×360°)/(11×12×4)=15°，從圖中可看到齒槽轉矩為周期 15°電角度的脈動轉矩。比較圖中可以看出采用麥克斯韋應力張量法計算所得的齒槽轉矩與有限元法計算結果相對吻合。

圖3 齒槽轉矩波形比較Fig.3 The comparison of cogging torque

圖4 相繞組空載反電動勢波形比較Fig.4 The comparison of no-load EMF waveforms in a phase winding

圖4a為永磁無刷電機在轉速 140r/min時電機相繞組空載反電動勢直接解析法計算波形，峰值100V。圖 4b為樣機實驗波形，橫軸為時間軸，每大格為10ms，共計0.1s，縱軸為反電動勢幅值，每大格為50V，正負均為100V。由圖4a和4b比較可知解析計算反電動勢無論是時間周期還是波形幅值均較為一致。充分肯定了本直接解析法的計算精度。

5 結論

本文建立了表貼式徑向充磁永磁無刷電機空載矢量磁位磁場解析模型，編寫了相應的解析計算程序，以實際樣機為例計算了其空載氣隙主磁場、齒槽轉矩和反電動勢，與有限元法計算結果和實驗波形相比較證明了本方法的正確性和有效性。該方法既保證了計算結果的準確性，又可很方便地獲得氣隙磁場和槽內磁場的解析解，為進一步研究與氣隙磁場和槽內磁場有關的物理量提供了方便。本文采用的矢量磁位解析法計算速度較快，不僅適合分數槽電機，同樣適合整數槽電機，具有普適性。

附 錄

1.氣隙區域I和永磁體區域II矢量磁位

表達式系數如下：

表達式為

[1]Zhu Z Q, Howe D, Bolte E.Instantaneous magnetic field distribution in brushless permanent magnet DC motors, part I: open-circuit field[J].IEEE Transactions on Magnetics, 1993, 29(1): 124-135.

[2]Zhu Z Q, Howe D.Instantaneous magnetic field distribution in brushless magnet DC motors, part III effect of stator slotting[J].IEEE Transactions on Magnetics, 1993, 29(1): 143-151.

[3]Damir Zarko, Drago Ban, Thomas A Lipo.Analytical calculation of magnetic field distribution in the slotted air gap of a surface permanent-magnet motor using complex relative air-gap permeance[J].IEEE Transactions on Magnetics, 2006, 42(7): 1828-1837.

[4]Zhilichev Y.Analysis of permanent magnet machines using crossing macro-elements[J].IEEE Transactions on Magnetics, 2000, 36(5): 3122-3124.

[5]丁曄, 章躍進.表面磁鋼永磁無刷電機空載氣隙磁場半解析法研究[J].電機與控制應用, 2007(3): 7-10.Ding Ye, Zhang Yuejin.Semi-analytical method research for non-load air gap field of surface alnico permanent magnet brushless motor[J].Electric Machine and Control Application, 2007(3): 7-10.

[6]鄭成勇, 章躍進, 薛波, 等.表貼式分數槽電機永磁氣隙磁場矢量位半解析法[J].微特電機, 2010(4):24-26.Zheng Chengyong, Zhang Yuejin, Xue Bo, et al.Semi-analytical approach with vector magnetic potential for permanet-magnet air-gap field of surface mounted stator slot[J].Small and Special Electrical Machines,2010(4): 24-26.

[7]李春江, 章躍進, 盧鐵斌, 等.解析數值結合法在直驅輪轂式永磁無刷電機氣隙磁場分析中的應用[J].微電機, 2010, 43(12): 21-28.Li Chunjiang, Zhang Yuejin, Lu Tiebin, et al.Application of analytical-numerical method to air-gap magnetic field of direct drive wheel-hub permanent magnet brushless motors[J].Micromotors, 2010,43(12): 21-28.

[8]Thierry Lubin, Smail Mezani, Abderrezak Rezzoug.Exact analytical method for magnetic field computation in the air gap of cylindrical electrical machines considering slotting effects[J].IEEE Transactions on Magnetics, 2010, 46(4): 1092-1099.

[9]胡之光.電機電磁場的分析與計算[M].北京: 機械工業出版社, 1986.