一種用于差動保護的新型重采樣方法

王 業 陸于平 徐以超 許偲軒

（東南大學電氣工程學院 南京 210096）

1 引言

近年來，數字化微機保護技術迅速發展，其過程層通常采用電子式互感器（Electronic Current Transducer，ECT），等間隔采樣的采樣值報文經合并單元（Merging Unit，MU）發送到智能電子設備（Intelligent Electronic Device，IED）進行處理，并以共享的方式通過通信接口提供給二次保護裝置[1]。不同數字源采樣頻率不盡相同，額定采樣頻率可取為20倍、48倍、80倍工頻頻率中的任意一種[2]。而傳統由電磁式互感器組成的電氣測量系統將模擬量送入保護裝置，采樣在內部進行。以上電氣測量系統的變革帶來了相應問題。如發電機中性點側通常是內部自采樣，互感器裝在發電機套管中，而由于主變壓器廠商有可能與發電機廠商不統一及各側電壓等級不一樣等原因，主變壓器高壓側套管內的互感器有可能與發電機中性點側互感器采樣率不一致，發變組大差動，母差保護及一些后備保護均會存在多數字源采樣信號混合輸入環境[3,4]，需對采樣信號進行重采樣。再如ECT往往會集成在氣體絕緣組合開關（Gas-Insulated Switchgear，GIS）內部或安裝在斷路器和變壓器套管上，由各自的一次設備制造商供貨，因此，在一個數字化變電站中，由于電壓等級不一樣，可能會出現各個ECT輸出數據采樣頻率并不完全一致的情況，如需實現差動保護需將兩側采樣率統一[5]。此外，為提高測量精度和保護特性，IED需將等間隔數據轉換成等相角數據，故也需要對IED接口的數據進行重采樣[6,7]。

圖1給出傳統重采樣方法[3-11]及本文頻域變換重采樣方法的流程圖，信號首先經過前置模擬低通濾波器，然后在不同采樣率A-D采樣后進行重采樣。對于傳統重采樣方法，采樣率的調整都是在時域進行的，需經過數字低通濾波器來進行抗鏡像或抗混疊。文獻[5]提出了時域上的抽取插值重采樣方法，而信號的抽取和插值各自只能實現信號整數倍采樣頻率之間的轉換，對于分數倍采樣頻率轉換，可將信號的抽取與插值級聯，其對于大整數倍和分數倍采樣率，濾波器結構非常復雜。文獻[3]和[11]提出了時域有限沖激響應濾波器的概念，并以此為基礎構造了數字低通濾波器，從電子式互感器輸出的離散采樣數據恢復出連續信號，重新計算出任意時刻的采樣值。對于時域有限沖激響應濾波器，實際上是對輸入信號進行兩次加窗，通過增加運算量來換取精度的提高。

上述文獻提出的重采樣方法，如果要達到零相頻響應，FIR濾波器延時將達到（N-1）/2[12]（N為插值后一周期點數），故至少延時3～4ms左右，數據才能剛剛符合保護用采樣精度，無法滿足超高壓差動保護快速性的要求[13]，且在采樣值差動中，需對每一個時刻的采樣值進行差動判別，在連續R次判別中如有S次滿足判據，則輸出動作信號，而R通常等于或大于N/2（N為一周期采樣點數）[14,15]，故采用上述方法其保護輸出最小延時為數字低通濾波器延時及連續R次判別的等待時間（復判數據窗延時）之和，總延時將達到半個周期以上，如圖2a所示。

圖1 傳統重采樣及頻域變換重采樣方法流程圖Fig.1 The flow chart of traditional resampling and frequency domain transformation resampling

圖2 傳統重采樣及頻域變換重采樣方法延時Fig.2 The delay of traditional resampling and frequency domain transformation resampling

綜上所述，傳統重采樣技術已經被國內外許多學者研究得很深入，而差動保護則是系統主保護必不可少的部分[14-18]。為了在保證重采樣精度的前提下最大限度地減小重采樣延時，可以將采樣值差動無法省去的半個周期連續R次判別所用等待時間內的采樣數據利用起來以增加重采樣精度，本文頻域變換重采樣方法先對半個周期數據窗的采樣值進行半波傅里葉變換，根據重采樣要求對其頻域進行處理，再反變換到時域，取得信號的瞬時值，無須經過數字低通濾波器。使用本方法，如果采樣值差動連續R次判別的復判數據窗為N/2（此處N為一周期采樣點數），則在半個周期時，重采樣信號已有輸出，且保護出口同時也有輸出，保護輸出總延時為N/2，如圖 2b，之后隨著數據窗的推移，重采樣信號及保護都會逐點輸出，且重采樣信號輸出達到零延時。該方法巧妙地疊加了重采樣數據窗及采樣值差動保護連續R次判別的復判數據窗，省去時域重采樣方法中數字低通濾波器的延時，同時解決了傳統時域重采樣方法在信號包含高次諧波較豐富時重采樣精度較低的問題，提高了重采樣精度及減小了重采樣延時。

2 頻域變換重采樣方法

2.1 頻域變換升采樣

增加采樣頻率以增加數據的過程稱為信號的插值。設原信號為x(n)，采樣頻率增加L倍，則需在x(n)的兩個采樣點之間插入 L-1個新的采樣點，可以將插入的L-1個采樣點的值取為0，同時為了去除插值后的鏡像分量，有必要將插零后的信號通過一個數字低通抗鏡像濾波器，濾波器的理想特性為[19,20]

其過程如圖3所示。

圖3 采樣信號插值Fig.3 Interpolation of sampling signal

現將該過程在頻域上進行推導，分析是否能通過頻域上的處理來實現信號升采樣。以2倍內插為例，假設插入零后的序列為v(k)，則

設X(m)為x(n)經半波傅里葉變換后的頻譜，即

式中，m=0，1，…，N/2-1，N為一周期采樣點數（采樣點數一般為偶數）。

設V(l)為v(k)經半波傅里葉變換后的頻譜，即

式中，l=0，1，…，N-1。

根據式（2）得

當l≤N/2-1時

當l＞N/2-1時，令l=N/2+s

通過以上推導可以看出，插入零值后信號的頻譜 V(l)是原頻譜的延拓，所以將原信號通過半波傅里葉變換轉換為頻域序列，并對頻域序列按重采樣要求進行處理，最后再將處理過的頻域序列轉換到時域的方法可以對數據進行升采樣。而上述式（1）描述的時域上的數字低通濾波則可在本文方法所述頻域處理時對原信號頻譜進行補零而完成，省去低通濾波器的延時。以上L倍頻域變換升采樣的步驟為

（1）利用半波傅里葉變換求出原信號 x(n)的頻譜X(m)，共N/2點。

（2）對原信號頻譜 X(m)進行延拓，補上（LN-N）/2個零，根據重采樣率對補零后的頻譜進行L倍能量加權，得到V(l)。

需要說明兩點：

（1）在原信號頻譜 X(m)后面添加零，可以理解為補零的這些信號譜線在原采樣信號乃奎斯特頻率之上，無法采到這些頻率的譜線。

（2）單純地將信號進行頻域變換升采樣不需要進行能量加權，但此處升采樣的目的是將差動保護兩側不同采樣率互感器采得的數據進行采樣率統一，進而可以進行差動保護，而由于兩側互感器采樣頻率不一樣，所采得的電流成分存在差別，所以還需根據重采樣率對補零后的頻譜進行能量加權，使得升采樣后的電流成分與另一側互感器采得的電流成分相同。

（3）對V(l)做NL/2點傅里葉反變換，得到升采樣之后的信號y(k)。

2.2 頻域變換降采樣

降低采樣率去除多余數據的過程稱為信號的抽取。為了使抽取后的頻譜不發生混疊，需要先將原信號經數字低通濾波器（濾波寬度為π/M）對其進行濾波，得到信號 v(n)。數字低通抗混疊濾波器的理想特性為[21,22]

設采樣頻率降低M倍，則需在v(n)的采樣點之間每隔M-1個點抽取一個采樣點，形成一個新信號y(k)。其過程如圖4所示。

圖4 采樣信號抽取Fig.4 Decimation of sampling signal

同樣將該過程在頻域上進行分析，抽取后信號y(k)的頻譜 V(l)為抽取前原信號頻譜 X(m)經平移以及 M倍展寬后的 M個頻譜的疊加和，可以看成升采樣的逆過程，限于篇幅，此處不再推導。所以，將原信號 x(n)進行頻域變換也可以達到降采樣的目的，而上述式（9）描述的時域上的數字低通濾波同樣可通過對原信號頻譜進行截斷而完成，省去低通濾波器的延時，頻域變換降采樣的步驟為

（1）當（N/2）modM=0時，①利用半波傅里葉變換求出原信號 x(n)的頻譜 X(m)，共 N/2點。②對原信號頻譜 X(m)進行截斷，保留前（N/2）/M個點，根據重采樣率對截斷后的頻譜進行1/M倍能量加權，得到 V(l)。需要說明的是，對原信號頻譜進行截斷，可以理解為，降采樣后信號的乃奎斯特頻率變小，其能反映的原信號的頻譜范圍變小，所以原信號頻譜后面的譜線將不再具有意義。③對V(l)做(N/2)/M點傅里葉反變換，得到降采樣之后的信號。

（2）當(N/2)modM=a，且 a≠0時，①令N′=M-(N/2)modM；②在原信號后補N′個零，使補零后的信號長度是M的整數倍，并求出此時補零之后信號的頻譜X(m)，共N/2+N′個點；③對X(m)進行截斷，保留前(N/2+N′)/M 個點，根據重采樣率進行1/M倍能量加權，得到V(l)；④對V(l)做(N/2+N′)/M點傅里葉反變換，得到降采樣之后的信號。

2.3 頻域變換分數倍重采樣

對于分數倍重采樣，設 i、j互為質數，則 i/j倍重采樣實際是 i倍升采樣和 j倍降采樣的級聯，其處理過程如圖5所示。

圖5 采樣信號的插值與抽取Fig.5 Interpolation and decimation of sampling signal

所以，利用頻域變換方法對原信號 x(n)進行分數倍重采樣的步驟為

（1）當(N/2)modj=0時進行下一步，如果(N/2)modj≠0時，對原信號末端進行補零，求出信號頻譜X(m)。

（2）對頻譜X(m)的長度進行修正，其長度為i(N/2)/j，并根據重采樣率對修正后的頻譜進行 i/j倍能量加權。

（3）對新的頻譜根據頻譜點數進行傅里葉反變換，得到分數倍重采樣之后的信號。

針對以上方法，需要說明幾點：

（1）此處由于數據窗只有半個周期，故變換出的頻譜X(m)將不是真正意義上x(n)的頻譜，但由于反變換時的點數也只有半個周期，故反變換后的時域信號依然是準確的。

（2）由于半周期數據窗采樣點數較少，造成了采樣信號的頻譜分辨率降低，即采到的信號最大頻率不會改變，但采到的信號中所包含的各個頻率成分變少。

（3）傳統重采樣方法，如時域上的抽取插值法或TCFIR方法，將會由于兩側采樣率不一致，致使頻譜泄露產生的誤差更為嚴重，在采樣率轉換誤差的基礎上進一步引入誤差，使得誤差率進一步增大，甚至使得差動保護兩端較低頻率的高頻分量增加的誤差難以互相抵消，影響到差動保護的運行。而半波頻域變換重采樣方法，相對時域重采樣方法，可以進一步減小誤差，因為半波頻域變換重采樣方法的誤差來源主要是由于前置模擬低通濾波器并不可能做到理想狀態，高采樣率會采得信號較高頻率的頻譜，而根據采樣定律的相關知識，較高頻率的頻譜會在較低頻率的頻譜處產生鏡像（假頻），致使高采樣率采得的信號其較低頻率的頻譜與低采樣率采得的信號其較低頻率的頻譜不一致，使頻域變換重采樣產生誤差。但是通常系統中較高頻率的高頻信號所占的比重非常小，只占千分之幾，故影響不是很大。

3 試驗

由于發變組大差動有可能出現保護兩側采樣率不一致的情況，故系統模型仿照文獻[20]利用Matlab/Simulink搭建了發變組大差動模型，發電機出口電壓 13.8kV，500kV兩圈升壓變采用 Yn/D11接線。試驗模型如圖6所示，其中CT1的采樣頻率為 2.4kHz，CT2的采樣頻率為 4kHz，互感器變比為 1∶1。

圖6 發變組仿真模型Fig.6 The large generator-transformer unit simulation model

需要說明的是：由于本文研究的是用于差動保護的新型重采樣方法，故在仿真時應對比計算出重采樣之后的數據與重采樣前的數據之間的誤差為多少，仿真中將CT2采得的采樣率為4kHz信號重采樣為 2.4kHz信號，并與CT1直接采得的采樣率為2.4kHz的信號進行比較，所以應保證重采樣前流過CT1與CT2的電流完全一樣，這樣對比計算出的重采樣誤差才有意義。故模擬系統正常（電流諧波含量較低）及區外k處單相接地故障切除（電流諧波含量豐富）的情況，對本文提出的方法進行驗證。

當兩側信號采樣率不一致時，根據奈奎斯特采樣定理，兩互感器通過的前置模擬低通濾波器截止頻率也應不相同。但考慮到試驗需比較重采樣后的2.4kHz信號與直接以 2.4kHz采樣的信號之間的誤差，故應保證重采樣前兩側信號成分完全相同，所以，此處將兩側信號通過相同的前置模擬低通濾波器，以2.4kHz采樣率為基準設計前置模擬低通濾波器，其通帶截止頻率（0.707處）為380Hz，阻帶截止頻率（0.01處）為1.2kHz。濾波器頻譜特性如圖7所示。

圖7 模擬低通濾波器頻譜特性Fig.7 Frequency spectrum of low pass filter

（1）當系統未發生故障，正常運行時，此時諧波含量一般，通過全波傅里葉變換分析得到2.4kHz采樣與4kHz采樣的電流頻譜特性如圖8所示。

圖8 系統正常時采樣信號頻譜特性Fig.8 Frequency spectrum of sampling signal during normal

由圖8可見當系統正常運行時，此時諧波含量很少，諧波總含量為 5.28%，兩側信號的幅頻在1.2kHz之前基本一致，以 2.4kHz采樣的信號根據采樣定理的約束，其頻譜（實線）關于1.2kHz對稱，1.2kHz以上的頻率不能夠表示出來，但并不代表其不存在，它將會以假頻的形式分散于1.2kHz之前的頻譜中，故設計出性能優越的模擬低通濾波器將會提高頻域變換重采樣的精度，此處由于1.2kHz以上的諧波分量不大，故并不會對誤差造成顯著影響。而以4kHz采樣的信號頻譜（點線）則會關于2kHz對稱。兩側采樣電流波形如圖9a所示，頻域變換重采樣后信號及頻譜特性如圖 9b～圖 9d所示，這里需要說明的是，由于采用半波傅里葉變換，圖 9c給出的原2.4kHz信號與重采樣后2.4kHz信號的頻譜，并不是真正意義上信號的頻譜，這里只用于進行對比。

圖9 系統正常時頻域變換重采樣前后信號及頻譜特性Fig.9 The original signal,the signal after frequency domain transformation resampling and the frequency spectrum of the signal after frequency transformation domain resampling during normal

FIR、IIR、TCFIR三種時域重采樣方法及頻域變換重采樣方法產生的誤差如圖10所示。

圖10 系統正常時FIR、IIR、TCFIR與頻域變換重采樣誤差分析Fig.10 The error analysis of FIR、IIR、TCFIR and frequency transformation domain resampling during normal

分析各種重采樣方法的誤差率可以看出，FIR采樣率轉換存在的主要問題是：雖然是線性相位，但在各頻率分點都存在一個相位衰減，在時域上表現為信號的群延時。其次，FIR濾波器的通帶由于吉布斯效應有較大的紋波，導致重采樣誤差上下起伏較大。此處將4kHz的采樣率轉換為2.4kHz的采樣率，選取 N=59 ，換算到時域延時為 2.45ms，其瞬時誤差基本控制在 1.5%以下，平均誤差率為0.83%。基于零相位的IIR濾波器重采樣方法，實現了零相位的數字濾波器，使得重采樣后的信號沒有延時問題。但是，IIR濾波器的拖尾問題是這種方法的一個很大的缺點，最后幾個重采樣點的瞬時誤差很大，最大達到32%，其平均誤差率為3.87%。除去最后三個拖尾點后的平均誤差率為 0.85%。TCFIR重采樣方法選取N=6（此處N與FIR重采樣方法中N的意義不一樣，詳見文獻[3]和文獻[5]），延時為 2.5ms，由圖 10c可知，其瞬時誤差基本控制在2%以下，平均誤差率為1.49%。頻域變換重采樣的瞬時誤差呈現兩邊高、中間低的分布，這是由于數據窗的暫態效應引起的，其平均誤差率為0.50%，沒有延時。可見，頻域變換重采樣方法不僅沒有延時，而且在重采樣誤差上也遠小于前三種時域重采樣方法的誤差。

（2）當故障點k處發生區外單相接地短路時，電流包含較多的三次諧波，外部故障切除時母線電壓恢復，其過程類似空載投入，變壓器會因鐵心飽和而產生恢復性涌流，此時電流也會包含較多的二次諧波。通過全波傅里葉分析得到的 2.4kHz采樣（實線）與 4kHz采樣（點線）的電流頻譜特性如圖11所示，此時，直流分量含量達到6.47%，二次諧波含量達到10.07%，三次諧波含量達到23.36% ，諧波總含量為25.82%，兩側采樣電流波形如圖12a所示，頻域變換重采樣后信號及頻譜特性如圖12b～圖 12d所示，同樣，圖 12c給出的原 2.4kHz信號與重采樣后2.4kHz信號的頻譜，并不是真正意義上信號的頻譜，這里只用于進行對比。

圖11 外部故障切除時采樣信號頻譜特性Fig.11 Frequency spectrum of sampling signal during external fault removal

圖12 外部故障切除時頻域變換重采樣前后信號波形及頻譜特性Fig.12 The original signal,the signal after frequency domain transformation resampling and the frequency spectrum of the signal after frequency domain transformation resampling during external fault removal

現對此極端狀況進行分析，由圖12b可見，開始處由于數據窗的暫態效應，差電流達到500A，而實際系統運行時，數據窗是連續的，不會存在此種問題。頻域變換重采樣后的電流頻譜與原 2.4kHz的電流頻譜基本重合。現在此極端狀況下，分析FIR、IIR、TCFIR三種時域重采樣方法與頻域變換重采樣方法產生的誤差，其結果如圖13所示。

圖13 外部故障切除時FIR,IIR,TCFIR,頻域變換重采樣誤差分析Fig.13 The error analysis of FIR、IIR、TCFIR and frequency transformation domain resampling during external fault removal

分析各種重采樣方法的誤差可以看出，此處將4kHz的采樣率轉換為2.4kHz的采樣率，FIR重采樣（N=59，延時2.45ms）瞬時誤差基本控制在2.5%以下，平均誤差率為 1.72%。基于零相位的 IIR濾波器重采樣方法，最后幾個拖尾點最大瞬時誤差達到88%，平均誤差率為9.49%。除去最后三個拖尾點后的平均誤差率為2.20%。TCFIR（N=6，延時為2.5ms）重采樣方法瞬時誤差基本控制在3%以下，平均誤差率為 2.24%。頻域變換重采樣方法的誤差依然呈兩邊高、中間低的分布，其平均誤差率為1.10%，沒有延時。

對系統正常運行及在外部故障切除時四種重采樣方法的誤差率及各自特點進行歸納，具體見下表。前三種時域重采樣方法在諧波含量較大時，誤差均變得較大，而頻域變換重采樣誤差率依然控制的較低，原因是前三種重采樣方法都是在時域進行插值或抽取運算，在原信號由于諧波發生畸變，不再呈某種特定規律變化的情況下，插值或抽取難免會引入較大誤差，但頻域變換重采樣方法通過對頻譜的處理進行重采樣，原信號無須遵循某種特定規律變化，在將高采樣率信號轉換為低采樣率信號的時候，通過頻譜的統一可以將誤差率控制得很低，與諧波含量的多少沒有太大關系，只是由于前置模擬低通濾波器并不可能做到理想狀態，即不可能將高次諧波完全濾去，以4kHz采樣的信號中2.4kHz之后的較高頻率的高頻信號將會映射到2.4kHz之前，造成假頻，則重采樣之后的信號頻譜與直接以 2.4kHz采樣的頻譜存在細微差別，致使頻域變換重采樣產生誤差。但總的來說，2.4kHz以上的高頻分量通常含量都會非常小，最多只占到基波含量的千分之幾，所以就算在整體諧波含量相對較豐富時，也不會導致頻域變換重采樣的誤差率增加很多。

表 FIR，IIR，TCFIR，頻域變換重采樣誤差率對比Tab.The contrast of error of FIR, IIR, TCFIR and frequency transformation domain resampling

4 結論

為了在保證重采樣精度的前提下最大限度地減小重采樣延時，本文提出頻域變換重采樣方法。該方法在半個周期時，重采樣信號已有輸出，且保護同時也有輸出，之后隨著數據窗的推移，重采樣信號及保護都會逐點輸出。該方法主要創新點包括：

（1）該方法巧妙疊加重采樣數據窗及采樣值差動半個周期連續R次判別的復判數據窗，將采樣值差動無法省去的復判窗等待時間內的采樣數據利用起來以增加重采樣精度。

（2）利用頻域變換重采樣的本質，解決了傳統時域重采樣在信號包含的高次諧波較豐富時重采樣精度較低的問題。

（3）在重采樣時，無須將信號經過數字低通濾波器，即省去數字低通濾波器的群延時，最大限度地提高了保護的動作速度，結合第一個創新點，可以讓重采樣信號輸出達到零延時。

仿真驗證了新方法在系統正常及外部故障切除時的重采樣精度，平均誤差率僅分別為 0.50%和1.10%，均優于傳統時域重采樣方法。

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