計及節點恢復成功率的黑啟動分區恢復方案優化

梁海平 郝 杰 顧雪平

（華北電力大學電氣與電子工程學院 保定 071003）

1 引言

互聯電網發生大停電事故后，制定合理的分區并行恢復策略對于加快系統的恢復進程，減少大停電事故帶來的經濟損失具有重要的現實意義。目前關于電網分區并行恢復策略的研究主要集中在如何在分區內部建立恢復網架，涉及如何分區問題的文獻，主要有以下幾種研究方法。

文獻[1]通過主干網把黑啟動電源、待啟動機組節點以及重要負荷節點連接成一個網絡，根據設定的約束條件進行合理解列，解列得到的子網就是黑啟動分區結果。該算法將黑啟動分區問題轉化為滿足一定約束條件下確定電網中所有線路的通斷問題，沒有對分區內機組的啟動順序進行合理考慮，也沒有考慮機組的啟動時間限制。文獻[2]定義了網絡社團的模塊度指標和輸電線路的邊介數，通過GN分裂算法，不斷從網絡中移除邊介數最大的邊，將原來連通的網絡劃分為幾個子系統，然后通過計算各個子系統的模塊度指標來對結果進行調整和優化。文獻[3]考慮輸電線路的線路長度、電壓轉化次數、中間電站個數三個方面對恢復路徑進行評價賦值，將網絡形成一個賦權網絡，以各子系統中的所有節點到各自區域黑啟動電源的路徑長度之和作為禁忌搜索算法的目標函數，但沒有考慮發電機的恢復狀態和啟動時間限制。文獻[4]提出了計及火電機組啟動過程的網架并行恢復策略，建立了機組累積啟動時間與機組停機之間的關系，并用Prim算法優化送電路徑；文獻[5-7]采用了基于遺傳算法的黑啟動分區策略，綜合考慮機組的啟動特性和系統的恢復狀態，設定分區優化目標函數，應用遺傳算法進行優化問題的求解，其不僅可以得到節點所屬的分區，同時也可以得到分區內部線路的投運次序。文獻[8, 9]考慮機組的啟動時限，采用最短路徑法尋找恢復過程中的最優路徑。

以上各種分區策略中，均沒有考慮輸電線路投運的不確定性以及送電路徑操作靈活性的差異。實際的電力系統中，由于輸電線路的運行環境、故障排除狀態以及本身所在網絡中的位置不同，其投運成功與否，存在一定的不確定性。同一個目標節點，選擇不同的恢復路徑，其能夠得到成功恢復的概率是不一樣的；同一個黑啟動電源點，恢復不同的目標節點，其恢復成功的概率也是不一樣的。

針對以往研究所存在的問題，本文提出一種計及節點恢復成功率的黑啟動分區優化策略。首先，根據目標節點到達不同黑啟動分區恢復路徑的情況，應用圖論中依據最小路集計算系統正常工作概率的方法，計算出該節點由指定分區恢復成功的概率，同時綜合考慮路徑的恢復時間，設定了分區判定函數來確定節點所屬最優分區。其次，對于已經確定所屬分區的某個目標節點，考慮到恢復時間的緊迫性，對分區內部恢復該節點的送電路徑進行優化，同時，結合路徑的恢復用時以及機組動態恢復模型，可以確定機組節點的啟動狀態，從而求解出其后續恢復過程中的出力。最后，本文提取了分區子系統網絡重構效率指標、分區恢復的時間耗費指標以及各分區恢復用時方差指標建立了分區優化目標函數，并應用交叉粒子群算法實現電網分區優化問題的求解。

2 基于最小路集的節點恢復成功率的求解

2.1 最小路集相關概念

圖是節點和邊的集合，記為G={V, E}，其中V為節點，E為邊。若連接節點之間的邊是有方向的，稱為有向邊；若連接兩個節點之間的邊是無向的，稱為無向邊。由無向邊構成的圖稱為無向圖；由有向邊構成的圖稱為有向圖；既含有有向邊又含有無向邊的圖成為混合圖。

路集是指連接任意兩個節點間有向邊或無向邊組成的邊的集合。如果一條路中移去任意一條邊后就不再構成路，則這條路成為最小路。由最小路構成的集合稱為最小路集[10]。

2.2 求解網絡最小路集的方法

求解網絡的最小路集的方法有聯絡矩陣法、布爾行列法以及搜索法。本文采用搜索法求解復雜網絡的最小路集。搜索法的基本思想是由網絡的起始節點作為根節點開始依次向目標節點搜索，找出全部最小路。利用搜索樹的方法可以使得搜索過程變得條理清晰、簡單可用。如圖1為一個簡單的混合圖。

圖1 點弧圖Fig.1 Node arc graph

圖2 搜索樹Fig.2 The searching tree

選擇1節點為樹根作搜索樹，搜索到達4節點的所有最小路。搜索樹如圖2所示。由搜索樹的結果可知，最小路集為：[x1x4,x2x5,x1x3x5,x2x3x4]。

2.3 由最小路集求系統可靠工作的概率

一般求得的最小路是相交的，或者說是相容的。需要首先把相交的最小路先化為不相交的最小路，然后求解系統的工作概率，這一過程稱為不交化過程。這里采用“刪去留下”算法對最小路集進行不交化變換。

“刪去留下”算法的步驟如下：

（1）定義最小路集矩陣為S，對每個最小路定義一個n維向量 Ei（x1, x2,…xn），n為邊的條數。向量Ei的每個分量是一個二進制數字。xk取1時表示最小路中含有xk，當xk取0時表示不包含xk支路。

（2）計算

（3）定義互不相容的最小路集矩陣為Ldis，求互不相容的最小路Ljdis

①先令 j=1，L1dis=E1；

②再令 j=j+1；

1）比較Tj和Ej，如果Tj中某些非零元素位置（-11011）上Ej的元素為零，那么就按它們在Tj中的位置號碼由大到?。ɑ蛴尚〉酱螅┯浵滤鼈兊奈恢茫钸@些位置標號為 K1, K2,…,Kr。

2）把Ej對Kr分解為兩個分量 Ej（Kr）和，它們分別用1和-1代替Ej向量第Kr位置上的“0”。然后檢查Ej（Kr）和，如果 Ej（Kr）中有1的位置包含了任一Ei（i＜j）全部有 1的位置，那么Ej（Kr）就刪去；若每個Ei（i＜j ）中有1(-1)的位置至少有一個與 Ej（Kr）中同位置的-1(1)相對應，說明Ei與 Ej(Kr)不相交，則 Ej（Kr）留下，它便是不交化了的子集。對于也作相似的處理。

3）如果Ej（Kr）不刪去，也不留下，則繼續分解，在Ljdis中數“1”對應元件完好，數“-1”對應元件故障，“0”表示不含此元件。

經過上述不交化過程之后得到的最小路集矩陣Ldis中的任意兩條最小路之間都是互不相容的，因此，系統可靠工作的概率就可以表示為各條最小路成功運行概率之和。可按照如下公式計算節點可靠工作的概率Rs：

式中，Lidis為第i條不相容的最小路；m為求得的不交化最小路的條數。

現以圖1為例說明上述求解過程。根據圖2的搜索樹，可以得到最小路集矩陣為

最后得到不交化的最小路矩陣為

求出不相交最小路集后，系統可靠工作概率Rs即不相交最小路之和的概率，故

3 計及節點恢復成功率的分區策略

3.1 電網中節點恢復成功率的求解

應用最小路集理論對節點恢復成功率進行分析時，首先要將電力網絡簡化為一張拓撲圖。簡化原則如下：

（1）電網拓撲模型中的所有發電廠節點、變電站節點和負荷節點均抽象為網絡中無差別的節點，且不考慮接地點。

（2）所有高壓輸電線路和變壓器支路均抽象為網絡中帶權值的邊。

（3）在恢復過程中，為了減少對地電容的影響，一般只投雙回線路中的一回，因此在網絡簡化時可以合并雙回線，且忽略并聯電容支路。

按照上述簡化原則，一個復雜的電力網絡就可以由一張無向圖表示，記為 G={V, E}，其中 V為節點，E為邊。

本文假設所有節點的恢復成功率僅僅是由起始節點和目標節點之間的線路結構和線路恢復成功率決定的，不考慮節點本身存在的風險。由于電力網絡是一個規模較大、結構較復雜的網絡，在利用最小路集求解節點恢復成功率時，如果簡單按照第 2節中論述的搜索樹的方法進行求解，是非常困難的。本文以上述方法為基礎，對實際的算法進行了兩點改進：

首先，本文采用有界深度優先搜索策略來搜尋合適的最小路集，即為搜索設定了一個深度界限d，從起始節點出發，搜索了d步之后，如果仍然沒有到達目標節點，則放棄搜索，選擇另一條路進行搜索。深度界限d是由傳統Dijkstra算法求得的兩點之間的最短路徑的長度確定的。

其次，本文采用動態搜索過程，即每恢復一個節點，都應該更新已帶電節點數組和已恢復支路矩陣，下一次搜索最小路集時，從所有帶電節點依次搜索到達目標節點的最小路。對于某一目標節點b，如果在之前的恢復節點a的路徑中已經得到恢復，則其恢復成功率設定為等于恢復節點 a成功的概率。

3.2 節點分區的判定函數

系統分區并行恢復的目的是在盡可能短的時間內恢復盡可能多的機組出力，并快速建立起一個穩定的骨架網絡?？紤]到這兩方面的因素，結合本文提出的節點恢復成功率的概念，建立如下的分區判定函數，以此來確定目標節點所屬分區

式中，k為節點編號，s為分區標號，R（k, s）為k節點由s分區恢復時恢復成功率；tav(k, s)為k節點由s分區恢復時平均路徑恢復時間，即最小路集中所有路徑恢復時間的平均值，本文中，對于一組恢復路徑的時間，tav(k, s)的值均除以其最大值，進行了歸一化處理；α、β為權系數，權系數值的確定原則是盡量使得時間指標和可靠性指標能夠互相均衡，避免出現某個指標過大而造成另一個指標完全淹沒的情況，且滿足α+β=1。可以看到，分區判定函數從網絡恢復結構的可靠性以及恢復的快速性兩個方面衡量節點k由s分區中帶電節點恢復的優劣性。與以往分區過程中僅僅依靠時間指標或者輸電線路恢復代價指標等判據相比，此判定函數增加了網絡可靠性的考慮，更加切合實際情況。

3.3 節點最優恢復路徑的確定

根據同一待恢復節點由不同黑啟動分區恢復時分區判定函數值的不同，可以快速確定其所屬的最佳分區，但并不能確定恢復該節點具體的恢復路徑?？紤]到待恢復機組節點大部分為火電機組，且發電機組從點火到帶負荷所用時間以及機組的爬坡率都和機組恢復供電的時間有很大關系。機組越快得到啟動功率，就能夠越快地恢復帶負荷能力，因此，選擇一條恢復用時最短的路徑，對于提高機組的恢復出力以及加快系統的恢復進程，都具有重要意義。本文對于確定了所屬分區的待恢復節點，直接從之前求得的該節點到達指定分區的最小路集中選擇恢復時間最短的那條路徑作為其恢復路徑。

4 黑啟動分區優化的實現

4.1 分區優化目標函數的建立

根據黑啟動分區并行恢復優化策略的原則，提取以下指標來衡量分區結果的優劣。

首先，提取衡量分區后子系統網架重構效率的指標 f，定義如下：

式中，i為方案編號；s為分區標號；Ns為分區數目；Out（i, s）為在恢復時限內；s分區內的所有發電機出力總和，不同發電機節點出力大小的確定方法同文獻[11]；w（i, s ）為s分區內骨架網絡輸電線路代價之和，網絡中各輸電線路恢復代價權值設定同文獻[6]。f（i）的值越大，表明分區內子系統骨架網絡重構效果越好。

其次，提取衡量各個分區恢復時間差別大小的指標 Dt（i），它代表方案i中各個分區的恢復用時的分散度，Dt（i）定義如下：

式中，T（i, s）表示方案i中，第s分區建立骨架網絡的恢復用時；Tav為 Ns個分區建立骨架網絡恢復用時的平均值，其計算公式為

最后，提取方案總恢復用時指標 Tmax（i），定義如下：

根據上述指標，建立如下分區優化目標函數：

上述目標函數中，各個指標均除以其最大值進行歸一化。目標函數從各個子系統網架重構效率、各子系統恢復用時差別以及整個網絡重構時間的長短三個方面對分區結果進行評價。

4.2 約束條件

對于所有分區，均有以下約束：

（1）時間約束

式（9）表示對于汽包式鍋爐的發電機組通常具有最大臨界時間限制，即在此時限內機組恢復供電，機組就可在極熱態啟動，直接帶負荷。而對于具有直流式鍋爐的發電機組，則有最小臨界時間限制，停機后需要間隔一段時間才能重啟。k為機組編號，ns為s分區內的機組數目。

（2）潮流約束

式中，x為系統狀態變量；u為系統控制變量；p為系統擾動變量；Uk為節點電壓；PGk為發電機組有功出力；QGk為發電機組無功出力；Pk，l為支路 k-l上流過的有功功率。

式（10）表示基本潮流方程，式（11）和式（12）表示機組有功出力和無功出力上、下限，式（13）表示節點電壓上、下限，式（14）表示線路傳輸功率極限。

4.3 算法設計

本文采用交叉粒子群優化算法實現分區優化問題的求解。粒子群優化算法是由 Kennedy博士和Eberhart博士提出的一種全新的智能優化算法[12]。該算法初始化為一群隨機粒子，每個粒子有它自己的位置和速度，還有一個被優化函數決定的適應值。在迭代過程中，各個粒子通過跟蹤兩個“極值”來更新自己。一個是粒子本身所找到的最優解，稱為個體極值 pbest，另一個極值是整個種群目前找到的最優解，稱為全局極值gbest。文獻[13]將遺傳算法中的交叉操作引入經典的粒子群算法，提出了交叉粒子群算法：讓當前解與個體極值和全局極值分別作交叉操作，產生的解為新的位置。這里，每個粒子代表不同目標節點的恢復順序。

在POS中，適應值習慣上按照從小到大的順序排列，適應值越小，粒子越優。因此，本文中，適應值函數為目標函數的倒數。

式中，S是一個值很大的正數。算法求解過程的主要步驟如下：

（1）輸入原始數據，進行數據初始化。包括：設定Ns個黑啟動電源點，最大迭代次數Nmax，粒子數Np，并初始化Np個粒子，設定輸電線路投運成功率p，令 i=1, j=1。

（2）取第i個粒子，令k=1。

（3）選擇第k個待恢復節點，應用有界深度搜索算法尋找其到各個分區帶電節點的最小路集，并根據線路恢復的成功率計算其由各分區恢復成功的概率 R（k, s），以及到達該分區恢復路徑的平均時間tav（k, s）。

（4）計算第k個節點由s分區恢復的分區判定函數值P（k, s），并根據判定函數值的大小確定k節點所屬分區，同時，從對應最小路集中篩選恢復時間最短的路徑作為恢復該節點的具體路徑。更新該分區帶電節點數組。

（5）判斷是否恢復完粒子i中的所有節點，如是，進行下一步，否則，k=k+1，返回（3）。

（6）計算并提取分區方案i的各項指標，如子系統重構效率指標f（i）、各分區恢復時間方差指標Dt（i）、整個網架重構時間 Tmax（i）等。

（7）判斷是否已經計算完所有初始粒子，如是，進行下一步，否則，i=i+1，返回（2）。

（8）按照式（8）以及式（15）計算此組粒子的適應值函數值，選擇出局部極值pbest，記錄局部極值對應的粒子gxbest，并與全局極值gbest進行比較。如果 pbest＞gbest，更新全局極值，gxbest=pxbest ，gbest=pbest。初始粒子J與全局極值進行交叉，得到新的一組粒子；如果pbest≤ gbest ，則判斷有多少次迭代全局極值已經沒有變化，如果迭代次數大于50，則跳出循環，重新選擇一組初始粒子進行計算，否則初始粒子J直接與全局極值交叉，得到新的一組粒子。

（9）j=j+1，轉至（2），直到j=Nmax，此時判斷得到的最優解是否收斂，如果較前幾次迭代目標函數值還有明顯的變化趨勢，則繼續迭代，直到所得到的解收斂。最后，輸出gbest和gxbest。

交叉粒子群算法雖為人工智能算法，但其也存在計算量大和耗時長等缺點。為了提高算法的效率，避免程序陷入局部最優解，本文在（8）加入一個判定指標，即每次迭代結束后，比較最優解的適應值函數較上一次的變化，如果多次迭代適應值函數值都沒有變化，則程序判定為陷入局部最優，程序將自動跳出循環，選擇一組新的初始粒子進行迭代，直到到達最大迭代次數。

5 算例分析

根據本文介紹的分區優化算法，應用Matlab編程軟件，以IEEE118節點作為算例，進行驗證。該系統包含118個母線節點，186條線路和54臺發電機。本為選擇黑啟動電源點為[1 54 99]，設定其余51臺發電機組中汽包式鍋爐37臺，直流式鍋爐14臺。并設定交叉粒子群算法最大迭代次數Nmax=200，初始粒子數目 Np=10。網架中每條輸電線路恢復成功率的大小，對節點恢復成功率的計算有重要的影響，由于缺乏實際統計數據，對于輸電線路恢復的成功率本文采用假設的數值，但這并不影響對本文分區優化方法的有效性驗證。本文算例中設定p=0.9。

首先，由于分區判定函數式（3）中的權值α、β設定的不同，對分區的結果有著直接的影響，考慮到本文中的節點恢復成功率和歸一化后的路徑平均恢復時間指標均為小于 1的值，本文優先選擇α=0.5，β=0.5作為基準，調用所編寫的程序得到最優分區方案。分區骨架網絡如圖3所示，分區結果的總體情況見表1。

圖3 α=0.5，β=0.5時的最優分區網架圖Fig.3 The optimal skeleton network when α=0.5，β=0.5

表1 α=0.5, β=0.5時的分區總體情況Tab.1 The optimal system partitioning scheme under the condition that α=0.5, β=0.5

由上述分區結果可以看到，第3分區機組數目較多，發電量偏大，各個分區的時間差別較大，所以，根據這種情況，應加大時間指標所占的比重，使得各分區之間恢復的時間差更小，各分區規模更為一致。因此，設定α=0.4，β=0.6重新進行最優分區策略的篩選。結果如圖4和表2所示。

圖4 α=0.4, β=0.6時的最優分區網架圖Fig.4 The optimal skeleton network when α=0.4，β=0.6

表2 α=0.4，β=0.6時的總體分區情況Tab.2 The optimal partitioning scheme under the condition that α=0.4，β=0.6

由上述兩組結果對比可以發現，分區判定函數的權值系數調整之后得到的的分區結果，各個分區規模更加一致，各個子系統恢復用時相差變小，各分區發電量也趨于平衡，是一種較優方案。表3列出了分區1的詳細恢復情況，包括節點的恢復順序、各發電機節點的恢復路徑以及每臺機組得到啟動功率的具體時刻。另外兩個分區的詳細恢復情況見表4和表5。

表3 分區1內機組的恢復情況Tab.3 Restoration status of units in zone 1

表4 分區2內機組的恢復情況Tab.4 Restoration status of units in zone 2

表5 分區3內機組的恢復情況Tab.5 Restoration status of units in zone 3

由上述分區結果可以看到，根據所選擇的黑啟動電源點的位置和分布，應用本文提出的方法，118節點系統被有效分割成以各黑啟動電源點為核心的三個分區，且三個分區構建骨架網所用時間分別為58min、56min和47min，基本相當，骨架網絡結構以及各分區內機組的出力情況也基本一致，實現了本課題最初關于分區并行恢復的目標。

為了進一步說明本文所編寫的程序在對網絡分區方案初始解進行優化的能力，本文將迭代過程中目標函數值的變化趨勢進行了輸出，如圖5所示?？梢郧逦吹?，迭代過程是向著目標函數值不斷變大的方向進行的，即目標函數朝最優方向發展。與初始解以及迭代過程中隨機設定的一組解相比，本文在迭代280次之后得到的最優分區方案，在恢復時間和分區規模方面有了很大程度的改進。

由于此時還處于黑啟動恢復的初期，僅僅是以最大程度恢復發電機組作為目標進行的分區子系統骨架網絡的構建，因此，子系統內潮流校驗時，各被恢復機組的出力取其最大值的30%，并保證各機組的出力在調節過程中，不低于該初值。

圖5 最優解的目標函數值變化曲線Fig.5 The curve of objective function value of optimal solution

6 結論

本文提出了大停電事故后初期電網分區恢復方案的優化方法。較以往分區方法相比，本文充分考慮了復雜網絡輸電線路投運的不確定性以及網絡結構變化的靈活性，并將其量化，將基于最小路集求解節點恢復成功率的方法應用到電網節點恢復過程中，建立了求解節點恢復成功率的數學模型，同時結合系統恢復的快速性要求，建立了新的節點分區判據，實現對待恢復節點的有效分區。本文提取了評價子系統重構效率的指標、各分區恢復時間方差指標以及網絡重構時間指標等，建立了分區方案優化目標函數，應用交叉粒子群優化算法對分區結果進行綜合評價和優選。IEEE118系統算例的分區優化結果證明了本文所提方法的可行性和有效性。

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