基于模型跟蹤的廣義非線性控制系統設計方法

趙立華，大久保重范

(1.東北電力大學 機械工程學院，吉林 吉林132012;2.山形大學 工學部，日本山形992-8510)

模型跟蹤控制(Model Following Control System，MFCS)是通過迫使被控對象跟蹤具有理想動態特性和穩態品質的參考模型來獲得期望的閉環系統性能的控制方法。在MFCS中，對目標信號沒有特殊要求，一般信號即可滿足控制器的設計要求，因此使得MFCS的應用非常廣泛。MFCS的研究已經取得了一些研究成果，但基于廣義非線性模型跟蹤控制系(Nonlinear Descriptor Model Following Control System，NDMFCS)的研究成果還不多，本文對MFCS的設計進行擴展，提出了一種基于一般非線性模型的廣義模型跟蹤控制方法，并證明了系統內部有界。

1 問題的設定

由(1)、(2)式給出廣義非線性控制系統

這里，E為正則矩陣，且滿足rankE=r(r≤n);x(t)為廣義變量，x(t)∈Rn;u(t)為控制系統的輸入，u(t)∈Rl;y(t)為控制對象的輸出，y(t)∈Rl;B，C為適當維數的常矩陣;f(x(t))為可利用的非線性變量，f(x(t))∈Rn;取d(t)∈Rl，d0(t)∈Rl為線性有界外界擾動，其特征多項式為Dd(p)，滿足(3)式的數值多項式，模型由(4)式給出。

ym(t)∈Rl為模型的輸出;rm(t)∈為參考模型輸入;Dm(p)為穩定的對角多項式，滿足。

Nm(p)為l×lm的多項式矩陣，各行的次數為?rk{Nm(p)}=σmk。在此，?{·}表示多項式{·}的次數，?rk{·}表示多項式矩陣{·}第k行的次數。取對角矩陣可使問題研究簡化，實際沒有此限制;系統輸出誤差e(t)由(6)式表示。

本文討論系統內部狀態完全有界、輸出誤差e(t)漸進收縮于零的廣義非線性模型跟蹤控制系(NDMFCS)的設計問題。

2 控制系設計

取滿足(7)式的，控制對象(1)可寫成(8)式，K為適當維數的常矩陣。

本設計法與系統輸入u(t)的初值無關，討論對于閉回路狀態方程式中的任意初值有界。令p=d/dt，控制對象的輸入、輸出關系可得

再由下面的(10)、(11)、(12)式:

得到

取穩定對角矩陣T(p)=diagTk(p)。?Tk(p)=ρk表示該對角矩陣第k行的次數，線性有界外界擾動特征多項式Dd(p)的系數為?Dd(p)=nd，建立如下(14)條件式，適當取nmk值，使得ρk≥0。

使用上面的對角矩陣T(p)，求滿足(15)式的S(p)。

式中，T(p)，Dm(p)，D(p)為已知的多項式矩陣，Dd(p)為已知數值多項式。S(p)可由次數為nd的多項式對角矩陣求得。對于控制系統的輸入u(t)，使用滿足(16)式的穩定對角矩陣Q(p)，?Qk(p)為角矩陣Q(p)第k行的次數。

求使(17)式右側趨近于零的控制系統輸入u(t)的表達式，模型次數為nmk≥σmk。

(18)式的u(t)使(17)式的右側等于零。

上式中T(p)，Dm(p)是穩定的多項式矩陣，所以得出

至此，如果構成控制系統的內部狀態有界，便可實現模型跟蹤控制系的設計。

3 內部狀態有界的證明

使用狀態空間將u(t)表示為

ζi(t)，(i=1～4)為以下狀態空間函數:

多項式矩陣和系統矩陣的間有以下關系:

對于控制系來說，外部信號為模型的參考輸入rm(t)和外界擾動d(t)、d0(t)，均為有界函數。為證明控制系內部狀態有界，消去u(t)后，控制系可表示為如下的狀態空間形式。

取向量z(t)如下:

則(31)式可寫成

對比(31)和(34)式，可知 ～E，As，ds(t)，的內容。As的特征多項式，

由pI-Fi=Q(p)，(i=1～4)以及前面相關各式可得，

由(34)，(35)式，由g(x(t))至x(t)的傳遞特性可由下式描述。

x(t)的有界性的證明可見下面的定理1。

定理1

所示控制系，如x(t)連續，且滿足條件① ～④時，則x(t)有界。

限于篇幅，定理1的證明略［8］。x(t)滿足定理1的條件，x(t)有界。由(34)式，x(t)有界，則g(x(t))有界;且ds(t)亦為有界函數，則內部狀態函數z(t)有界，即控制系統內部有界。

4 結 論

本文在MFCS設計的基礎上進行擴展，將控制對象分為線性和非線性兩部分進行考慮，提出了一種內部有界的廣義非線性模型跟蹤控制系(NDMFCS)的設計方法，證明了當非線性部分滿足給定范數條件、傳遞函數正實時，系統內部完全有界。

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