基于壓縮傳感的圖像過完備字典設計

趙 睿，于華楠

(1.東北電力大學信息工程學院，吉林吉林132012;2.東北電力大學信息工程學院，吉林吉林132012)

傳統的信號采集過程主要包括采樣、壓縮、傳輸和解壓縮四個部分。在運用百萬像素的數碼相機對場景進行成像時，對圖像信號的壓縮是在不影響成像效果的前提下，舍棄了采樣獲得的大部分數據，只對部分信息進行存儲和傳輸，最后在接收端通過相應的解壓縮算法對原始圖像進行重構［1］。Donoho于2006年正式提出了壓縮傳感的概念，其優點在于信號的投影測量數據量遠遠小于傳統采樣方法所獲得的數據量，突破了奈奎斯特采樣定理的瓶頸［2］。并且，壓縮傳感技術能夠通過觀測直接獲得壓縮的信號，避免對海量像素信息的采集，并同時實現去噪過程［3］。

壓縮傳感技術在圖像采集、圖像壓縮和醫學成像等領域具有廣闊的應用前景，文獻［4］中給出了壓縮傳感技術及其在圖像處理方面應用的詳細綜述，文獻［5］將空間自適應濾波技術應用到壓縮傳感理論中，提出了一種新的圖像重建算法。本文對壓縮傳感中的過完備字典設計方法進行研究，將K-SVD算法［6］與MP，BP和FOCUSS等稀疏編碼算法結合使用，利用K-SVD算法更新字典。仿真實驗結果表明，本文設計的過完備字典能夠更好的補償圖像丟失的像素，具有明顯優于DCT過完備字典的圖像去噪能力。

1 壓縮傳感理論

壓縮傳感的核心思想是將壓縮與采樣合并進行，首先采集信號的線性非自適應投影值，即測量值，然后根據相應重構算法由測量值重構原始信號。假設x是一個N維向量，滿足其中:D是過完備字典，且u∈RN中只有K個非零元素，即u是N維維稀疏向量。

將信號x分解成一個矩陣D和一個稀疏向量u的乘積在信號處理過程中具有重要的意義，x可以用u中的K個非零元素來描述，而不再是原來x中的N個元素。同樣，為了在噪聲環境中估計x，我們只需要估計出K個而不是N個實際參量。

壓縮傳感可以從相對少的樣本中恢復稀疏信號，而不需要復雜的計算過程。對x的采樣過程可以描述為一個線性變換，即通過觀測矩陣Φ得到觀測信號

其中Φ是M×N維觀測矩陣，觀測到的信號y有M個元素，y的每個元素是x的一個檢測量。將式(1)代入式(2)得

若已知D和Φ，利用重建算法就能從y中恢復出x，而不必知道未知信號u中非零元素的一系列位置。

2 過完備字典的設計方法

過完備字典的設計通常基于信號分解理論。傳統的信號分解變換是將信號分解在一組完備的正交基上，而且這種變換是可逆的，如傅立葉變換、小波變換等。

本文對過完備字典D的設計基于下述假設:不考慮圖像的采集過程，于是不需要對圖像信號進行再次觀測，即觀測矩陣為單位矩陣。過完備字典的設計可以看成是求解下式所描述的問題

過完備字典的自適應設計方法一般由兩個階段組成，第一階段根據當前的字典計算稀疏表示系數，這一階段稱為稀疏編碼;第二階段在稀疏表示系數固定的條件下更新字典。這兩個階段不斷交替進行，直到訓練出符合要求的過完備字典。

2.1 字典設計第一階段

在給定的訓練信號y和當前字典D的條件下，計算出稀疏表示系數u，這一稀疏編碼過程和壓縮傳感理論中的稀疏重建過程是一致的。所以計算稀疏表示系數需要解決下式描述的問題

稀疏編碼階段認為D是固定的，如果選擇單位l2范數來約束D，則式(4)中的約束條件可以寫成

這樣，式(4)描述的問題可以轉化為若干個獨立的子問題，這些子問題可以利用上述跟蹤算法來解決。

2.2 字典設計第二階段

在自適應方法的第二個階段，本文采用K-SVD算法［6］更新字典。K-SVD算法采用奇異值分解(SVD)方法更新過完備字典，每次更新一個列向量dk，而其它的列向量都保持不變，以便找出新的dk和與之對應的系數，從而最大限度的減少均方誤差。在字典更新階段，D和X都是固定的。假設只處理D中的列向量dk和與之對應的系數xiT(X的第i行，不是X的第i列向量xi)，則更新字典時式(6)中給出的約束條件可以表示為

式中，把矩陣的乘積DX分解成K個秩為1的矩陣之和，其中第k個是要處理的，其余K-1個保持固定不變，矩陣Ek代表除去第k個原子的所有N個訓練信號的誤差。

3 仿真實驗

為了驗證過完備字典在圖像去噪中的應用及本文訓練的字典和DCT過完備字典的實際效果，本文進行下面幾組仿真實驗。實驗中使用測試圖像lena，原始圖像和噪聲污染后的圖像如圖1所示。人為加入的噪聲污染基于以下方法:將圖像分割成500個不重疊的塊，取常數r∈(0.2，0.9)，然后隨機刪除每個塊中r倍像素總數的位置(置0)。圖2給出了圖像去噪過程中采用的字典，字典的各個子塊是按照方差遞減的順序排列的。前三個子圖是采用本文的自適應方法訓練得到的字典，其中第一個是利用原始圖像訓練得到的字典，第二個和第三個字典是在噪聲污染圖像的基礎上訓練得到的字典，字典1和字典2被噪聲污染的程度不同。第四個子圖是DCT過完備字典。在字典的訓練過程中，稀疏編碼計算選擇匹配跟蹤算法，誤差容限選擇0.000 4。

圖1 測試用圖像

圖2 圖像去噪使用的字典

針對受噪聲污染的圖像，分別采用兩種字典去噪后的實驗結果如圖3所示。從實驗結果可以看出，信噪比為31 dB的情況下，基于本文提出的方法訓練得到的字典，具有更強的去噪能力，能夠實現更優的圖像重建效果。而進一步對比采用自適應方法訓練的兩種字典，由于圖像噪聲的存在，細節信息被干擾，利用原始圖像訓練得到的字典重建的圖像更清晰，但是原始圖像通常是未知的，所以只能利用受噪聲污染的圖像進行訓練。

圖3 兩種字典的圖像去噪效果

為了對比兩種訓練字典的方法，分別采用上述兩種方法獲得的過完備字典進行圖像重建，得到的平均重建誤差曲線如圖4所示。從圖中可以看出，隨著被腐蝕像素在總像素中所占的比例上升，自適應訓練字典和DCT字典的平均重建誤差都不斷增加，但自適應方法的平均重建誤差始終低于DCT字典的平均重建誤差，當被腐蝕像素在總像素中所占比例達到0.9(90%)以上時，兩種字典的去噪效果都受到被腐蝕像素的嚴重影響，平均重建誤差趨于一致。

圖4 兩種字典的平均重建誤差曲線

4 結 論

本文對圖像壓縮傳感中過完備字典的自適應訓練方法進行研究。采用K-SVD算法更新字典，在更新字典中列向量的同時更新系數，加快了收斂速度。仿真實驗證明了本文采用的自適應算法訓練的字典在圖像去噪方面明顯優于DCT字典，具有較低的平均重建誤差。此外，使用信噪比越高的，即越接近原始圖像的圖像來訓練字典，圖像去噪的效果越明顯。在進一步的研究中，將嘗試實驗更多的稀疏編碼算法，并且對算法進行改進以適用于處理較大的圖像。

［1］楊曉慧，焦李成.基于第二代bandelets的圖像去噪［J］.電子學報，2006，34(11):2063-2067.

［2］D.L.Donoho.Compressed Sensing［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(4):1289 - 1306.

［3］D.L.Donoho.De-noising by Soft Thresholding［J］.IEEE Trans on Information Theory，1995，41(3):613 - 627.

［4］J.Haupt and R.Nowak.Compressive Sampling Vs Conventional Imaging［C］.2006 IEEE International Conference on Image Processing，2006:1269-1272.

［5］Karen Egiazarian，Alessandro Foi，and Vladimir Katkovnik.Compressive Sensing Image Reconstruction via Recursive Spatially Adaptive Filtering［C］.IEEE Conference on Image Processing，2007:549 -552.

［6］M.Aharon，M.Elad，and A.M.Bruckstein.The K-SVD:An Algorithm for Designing of Overcomplete Dictionaries for Sparse Representations［J］.IEEE Transaction Image Process，2006，54(11):4311 - 4322.