剖析勾股定理中的文化內(nèi)涵

從中國(guó)古代經(jīng)典之作《九章算術(shù)》可以看得出，中國(guó)數(shù)學(xué)文化起源于人的實(shí)際需要，比如丈量土地、測(cè)量容積等，它以社會(huì)生活與生產(chǎn)實(shí)際為研究對(duì)象，以解決實(shí)際問(wèn)題為目標(biāo)，圍繞建立算法與提高計(jì)算技術(shù)而展開(kāi)，強(qiáng)調(diào)在觀察、實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上進(jìn)行分析、歸納得出結(jié)果，寓理于算，把數(shù)學(xué)建立在少數(shù)不證自明、形象直觀的原理上。這種算法化的數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)，深受儒家文化的影響，在歷史的發(fā)展過(guò)程中變化是微弱的、漸變的，然而當(dāng)前中國(guó)數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容與方法卻西化了，在教育形式上運(yùn)用了西方的數(shù)學(xué)教育模式，在文化心理上卻不自覺(jué)地運(yùn)用著中國(guó)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)文化觀，導(dǎo)致現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育中出現(xiàn)了許多困惑的問(wèn)題。筆者試從中、西方“勾股定理”誕生與發(fā)展的文化背景，尋找解決問(wèn)題的辦法，探討如何處理文化傳統(tǒng)與數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的關(guān)系。

一、勾股定理文化背景及其對(duì)現(xiàn)代教學(xué)的影響

勾股定理是中國(guó)幾何的根源。中華數(shù)學(xué)的精髓，諸如開(kāi)方術(shù)、方程術(shù)、天元術(shù)等技藝的誕生與發(fā)展，尋根探源，都與勾股定理有著密切關(guān)系。勾股形與比率算法相結(jié)合，經(jīng)推演變化已構(gòu)成各種各樣的測(cè)量法。古代數(shù)學(xué)家常以勾股形代替一般三角形進(jìn)行研究，從而可以避開(kāi)角的性質(zhì)的研討和不觸及平行的煩瑣理論，使幾何體系簡(jiǎn)潔明了，問(wèn)題的解法更加精致。從中國(guó)勾股定理的誕生與發(fā)展來(lái)看，中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)明顯有重視應(yīng)用、注重理論聯(lián)系實(shí)際、數(shù)形結(jié)合，以算為主、善于把問(wèn)題分門(mén)別類(lèi)建立一套套算法體系的特征。然而中國(guó)的傳統(tǒng)文化注重“經(jīng)世致用”，思維方式具有“重實(shí)際而黜玄想”的務(wù)實(shí)精神，使得勾股定理從誕生開(kāi)始一直沒(méi)有超越直觀經(jīng)驗(yàn)和具體運(yùn)算，而發(fā)展成一套完整的演繹推理，它始終作為一種技藝在傳播與應(yīng)用，走的是為了解決實(shí)際問(wèn)題的模式化發(fā)展道路。這種技藝應(yīng)用的價(jià)值取向至今仍影響著我們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，影響著我們的數(shù)學(xué)教學(xué)。在西方，從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了“與有理數(shù)不可通約的無(wú)理數(shù)”開(kāi)始，勾股定理作為歐氏空間的度量標(biāo)尺，經(jīng)過(guò)演繹推理，為幾何公理體系的完善和發(fā)展寫(xiě)下了新的篇章。歐幾里得在證明勾股定理同時(shí)，結(jié)合圖形分析，以演繹推理的方法獲得了一系列的定理和推論。此后，西方數(shù)學(xué)家從數(shù)的角度將勾股定理推廣到求不定方程的正整數(shù)解，引出了著名的費(fèi)馬猜想、鮑恩猜想、埃斯柯特猜想，從形的角度又把它推廣到平面圖形面積關(guān)系、立體圖形的表面積關(guān)系的探討。如此無(wú)窮延伸，在追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系和數(shù)學(xué)美的過(guò)程中推動(dòng)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。這足以表明數(shù)學(xué)教育在西方文化中的宗教和哲學(xué)價(jià)值取向的理性地位，這對(duì)我們今天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系結(jié)構(gòu)的形成有著重要的啟示作用。

二、現(xiàn)代勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)

1.從文化傳統(tǒng)習(xí)慣入手，利用現(xiàn)代化教學(xué)手段進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。請(qǐng)學(xué)生自己畫(huà)出幾個(gè)直角三角形，利用直尺測(cè)量三條邊長(zhǎng)，并記錄數(shù)據(jù)，計(jì)算邊長(zhǎng)的平方值，分析它們的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)勾股定理。從幾個(gè)學(xué)生構(gòu)造的特殊例子出發(fā)，利用測(cè)量工具進(jìn)行估算，尋找規(guī)律，提出猜想，符合我們的文化傳統(tǒng)習(xí)慣，符合從特殊到一般的思維規(guī)律，容易發(fā)揮學(xué)生的主體積極性。

2.利用幾何畫(huà)板軟件設(shè)計(jì)任一直角三角形，自動(dòng)測(cè)量三邊邊長(zhǎng)，驗(yàn)證學(xué)生的發(fā)現(xiàn)與猜想。幾何畫(huà)板軟件就其本身設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，是一種模式化的算法體系，用它來(lái)精確測(cè)量三角形的邊長(zhǎng)，展示直角三角形的任意性，是傳統(tǒng)文化精髓與現(xiàn)代文明的新結(jié)合。它不僅是一種測(cè)量工具的改善，更是一個(gè)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的平臺(tái)。此法所展示的直角三角形的任意性，是傳統(tǒng)教學(xué)手段無(wú)法實(shí)現(xiàn)的一個(gè)夢(mèng)想。而幾何畫(huà)板軟件可以讓學(xué)生操作計(jì)算機(jī)來(lái)構(gòu)造數(shù)學(xué)對(duì)象，在觀察動(dòng)態(tài)的圖形變化中，直觀體驗(yàn)了任意性的含義，深入理解任意性在數(shù)學(xué)中所起的作用。同時(shí)計(jì)算機(jī)提供快速反饋測(cè)量結(jié)果，進(jìn)行驗(yàn)證猜想的能力，使學(xué)生有更多的時(shí)間從事于更高層次的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。這一典型實(shí)例足以表明計(jì)算機(jī)技術(shù)可以為文化傳統(tǒng)與數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的結(jié)合提供了好的教學(xué)平臺(tái)。

3.比較趙爽證法和歐幾里得證法，挖掘傳統(tǒng)文化內(nèi)涵。勾股定理的證明有著豐富無(wú)比的文化內(nèi)涵，可以給學(xué)生許多啟發(fā)，其中趙爽的弦圖證法和歐幾里得證法最為典型。趙爽弦圖證法極富創(chuàng)意，他在《勾股圓方圖注》中用幾何方法嚴(yán)格證明了勾股定理，可以反映出我國(guó)幾何研究不僅在應(yīng)用方面有過(guò)輝煌成就，而且在理論方面也曾有一席之地。而歐幾里得證法給我們展示的是西方數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)的另一側(cè)面，即嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫼屠硇缘耐评怼１容^趙爽證法和歐幾里得證法可知，趙爽證法是建立在一種不證自明、形象直觀的原理上，即“出入相補(bǔ)”的原理。他的證明過(guò)程可以借助實(shí)物進(jìn)行操作，使現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化，最終達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)定理的意義建構(gòu)。而歐幾里得證法則完全脫離實(shí)物的支撐，給我們展示的是對(duì)數(shù)學(xué)美和數(shù)學(xué)理性的追求。它在更高層次上使學(xué)生的思維得到鍛煉。對(duì)這種證法的介紹，可以采用數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”原理，分析它的探索過(guò)程，使證明思路逐漸顯露出來(lái)，最終完成對(duì)公理化演繹體系結(jié)構(gòu)的深刻理解。

綜上所述，我們可以從文化傳統(tǒng)習(xí)慣人手，運(yùn)用現(xiàn)代教育手段來(lái)繼承和發(fā)揚(yáng)傳統(tǒng)文化，挖掘傳統(tǒng)文化內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化。