淺談代數(shù)式求值問題的變通

代數(shù)式的化簡與求值是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。其中，代數(shù)式求值問題的變形，是一項技巧性很強的變形，往往需要在把求值的代數(shù)式變形的同時把條件變形，有時候還要綜合運用代數(shù)式的恒等變形與方程的同解變形。

誠然，中學(xué)里的代數(shù)式變換、互化是我們解題的一種常規(guī)武器，而巧妙地用整體求值，能化繁為簡、靈活變通地解決問題，由此產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思想更具有普遍的意義。在許多初中代數(shù)式求值問題中，如果“硬碰硬”求值，往往很繁很難。但若仔細(xì)觀察已知重要條件和求值式的結(jié)構(gòu)特征，靈活變換已知條件或根據(jù)已知條件去變形求值式，經(jīng)過一兩次變式就可以輕松快捷地解決問題。

一、根據(jù)題意，靈活變通已知條件

例如，（1）已知x2+y2=7，xy=1，求x+y的值。

（2）已知x-■=1，求x2-x的值。

（3）已知7a2+7b2=42，ab=1，求3-5a+5b的值。

以上這些例題，如果按常規(guī)思路，先解方程或方程組，或者把已知條件代入所求代數(shù)式，解答就很麻煩，甚至無法求得其結(jié)果。如果我們將已知條件變形，就可迎刃而解了。以上述的第（3）題為例，解題過程如下：

解：由7a2+7b2=42?圯a2+b2=6①

由ab=1?圯-2ab=-2 ②

①+②得：a2+b2-2ab=4?圯(a-b)2=4?圯a-b=±2

∴3-5a+5b=3-5(a-b)=3-5×(±2)=3±10

∴3-5a+5b的值為13或-7

二、根據(jù)題意，變通求值式

數(shù)學(xué)題的解法蘊含著多種數(shù)學(xué)思想。可以從已知條件變形入手，也可以從求值式變式著手，殊途同歸，尋找解題簡捷途徑。

例如，（1）已知3x+2=a，4y+1=b，求32x+4-42y+2的值。

（2）已知b-a=-4，求■-ab的值。

以上兩題只要從求值式變形入手，就可以輕而易舉地求得結(jié)果。現(xiàn)將以上的第（1）題為例，解題過程如下：

解：由32x+4-42y+2=(3x+2)2-(4y+1)2=a2-b2

三、通過觀察，將已知條件和求值式同時變形

在解數(shù)學(xué)題時，要善于運用發(fā)散思維思想，從多角度去分析問題和處理問題，這樣才能容易找到解題的方法和技巧。

例如，（1）已知x=■，y=■，求x2-2x+y2+2y+2的值。

（2）已知x+■，求x4-x3+2x2-x+1的值。

以上述的第（2）題為例，解題過程如下：

解：由x+■=1?圯x2-x+1=0

由x4-x3+2x2-x+1?圯x4-x3+x2+x2-x+1

?圯x2(x2-x+1)+(x2-x+1)

∴原式=x2×0+0=0

四、認(rèn)真觀察，從題目中的隱含條件找到解題技巧

例如，（1）已知y=■，求yx的值。

（2）已知x2-2x+y2+6y+10=0，求x3-3y2的值。

以上兩題中的已知條件都隱藏著解題的重要契機。只要抓住這個契機，就抓到了解題的金鑰匙。

以上述的第（1）題為例，解題過程如下：

解：由已知條件可知，x-2≥02-x≥0即x≥2x≤2∴x=2

把x=2代入y=■可求得y=2■

∴yx=(2■)2=8

五、已知整體值，靈活變通已知條件

例如，已知：a-b=5■，a-c=■，求代數(shù)式c2-2bc+b2的值。

題中雖然已知a-b與a-c的值，但要求值的代數(shù)式c2-2bc+b2無法化為已知整體的形式。因此，必須將條件改變形式。不難看出，只需將條件中的兩等式相減就可以得到c-b=4■。使用整體代值就可解決問題。解題過程如下：

解：據(jù)題意得a-b=5■ ①a-c=■ ②

①-②得，c-b=4■

∴c2-2bc+b2=(c-b)2=(4■)2=32

在以上這些問題中，給出整體的值無法使用，此時，只需把條件稍作改變，就能在問題中得到使用。

從以上五個例子的解題思路和過程可知，或變通已知條件，或變求值式子，或是兩者同時變形都是代數(shù)求值問題的重要途徑。只要隨機應(yīng)對靈活變形，就一定會有“柳暗花明又一村”的感覺。