淺談“數形結合”在初中數學中的應用

數學是一門邏輯性很強的學科，很多數學符號、數學模型、數學概念都比較抽象，學習起來并不容易。在初中數學中，如何有效解決教師“難教”，學生“難學”的數學問題，早已被廣大師生所關注。而“數形結合法”則是一個行之有效的方法。早在19世紀，我國著名數學家華羅庚先生就提出“數缺形時少直覺，形少數時難入微”的數形結合思想。所謂“數形結合法”，就是指將數學中抽象的數字、符號與形象的圖片、形狀結合起來，將數字轉化為圖形，用圖形表達數字，通過數字與形狀之間的相互轉換和對應來分析數學問題的解決思路。數形結合法的中心思想，就是將抽象的概念具體化、直觀化，讓繁化簡，從而加強學生對問題的深入理解。

一、“數形結合”在數學知識點中的體現

數形結合的思想早已滲透在初中數學課本之中，無論是代數還是幾何知識，都有所體現。如初一課本中“數軸”這一概念就體現了數形結合的思想。因為數軸本身就是一個特定的幾何圖形，即“直線”；而構成數軸的三要素分別是：原點、正（負）方向、單位長度。第一，數軸上的任意一點都有相反數，在原點兩側且距離相等的兩個數為相反數。第二，數軸上的任何一點都代表了一個有理數，且越往右邊（正方向）數值越大。第三，數軸上任意點至原點的距離被稱為這個數的“絕對值”，正數的絕對值是它本身，而負數的絕對值是它相反數，0的絕對值是0。如此一來，便可以很容易地理解數軸、相反數、有理數、絕對值這些抽象的數學概念了。

再如，學習“二次函數”時，也可以充分利用數形結合的思想進行理解。二次函數中：f(x)=ax2+bx+c，其中a不等于0，△=b2-4ac，假設f(x)=0，x=-b±(√(b2-4ac))/2a。由此可見，當△＞0時，x將有兩個值，那么f(x)=ax2+bx+c的圖像與x軸就有兩個交點；當△＜0時，根號無意義，x的值不存在，那么f(x)=ax2+bx+c的圖像與x軸沒有交點；當△=0時，x僅有一個值，即-b/2a，那么f(x)=ax2+bx+c的圖像與x軸只有一個交點。在講解的時候，教師將二次函數的拋物線圖像畫出來，學生們便可以直觀地了解和理解到二次函數各個字母和各個值所代表的意思了。這樣的教學方法，正是將“數”與“形”有機地結合起來，從而巧妙地揭示了數學中的規律和本質，形象具體地將事物變化的規律展示了出來。同時，這也證明了，在數學中“數”與“形”并不是孤立存在的，而是相互統一、相互作用、相輔相成的。

二、“數形結合法”在數學解題中的運用

在初中數學中，分為代數和幾何兩大部分內容，可以將代數部分當作“數”，幾何部分當作“形”，“數形結合法”也可以被稱作代數與幾何相結合的方法，即可以運用幾何圖形來引導學生的思維，解決代數問題。

1.運用代數知識，思考幾何問題

在初中幾何中有很多直觀的圖形、圖像，易于學生們進行推理證明和理解掌握，然而，有一些結論與已知條件相差甚遠時，卻較難找到解題的思路，這個時候，就可以應用代數的知識進行思考，采取“數形結合法”尋找解題思路。

例如，已知某三角形的三邊長分別是x、y、z，x2+y2+z2-xy- yz-xz=0，請問此三角形是什么形狀？

針對這個題目，可以應用代數中平方差公式，即：(x-y)2= x2+y2-2xy對“x2+y2+z2-xy-yz-xz=0”進行組合、分解、變換。

由此推論：“x2+y2+z2-xy-yz-xz=0”→“2x2+2y2+2z2-2xy-2yz- 2xz=0”→“(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0”→“x=y，x=z，y=z”→“x=y=z”。可見，此三角形三邊相等，為等邊三角形。

類似這樣的題目，如果仍然停留在幾何的思維模式上，就很難尋找到解題的途徑。相反，引入代數的知識，讓形與數巧妙結合起來，思維便豁然開朗，解題也更加容易。

2.運用幾何圖形，思考代數問題

運用“數形結合法”，不僅可以運用代數知識來思考幾何題目的解題方向，還可以運用幾何圖形來解決代數問題。

例如，已知一次函數f(x)=ax+c，其圖像經過坐標軸的兩點p(4，0)和q(0，5)，那么，ax+c＞0和ax+c＜0的解集分別是什么？

這道題目單純地運用代數知識是比較難以想象和解答的，借助幾何圖形便容易進行分析了。根據題意，可知道f(x)=ax+c是一條直線，并且經過了p、q兩點，其中，p在橫軸上，q點在縱軸上。于是，就可以將這個直線圖直接畫出來，直線將整個平面分為三個部分，即直線上的ax+c=0部分，直線上方的ax+c＞0部分和直線下方的ax+c＜0部分。因此，根據圖像顯而易見，ax+c＞0的解集為x＜4，ax+c＜0的解集x＞4。

“數形結合法”是初中數學教學中最基本的方法，也是最古老最經典的教學方法之一。代數具有思維縝密、清晰、嚴謹的特點，而幾何具有圖像直觀、形象的特點，二者結合起來，便可以很好地優勢互補，發揮出更大的作用。數學家華羅庚也曾經說過：“數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離。”的確，將數學結合的思想滲透到初中數學教學中，可以讓學生在開放性、創造性的思路下尋找到解題的捷徑；可以打破學生們的思維定勢，有利于讓學生養成逆向思維、發散思維的好習慣，培養學生的創新精神與創造意識；可以大大提高學生對比信息、轉化信息、遷移運用的能力，從而進一步提高他們的數學綜合水平。