談通過構造幾何圖形解題

高中數學內容多，知識面廣，特別是實行新課程教材后，高中教學不僅要全面推行素質教育，注重學生能力的培養，而且要參加高考。高考對知識的深度和難度有一定要求，而新教材的一個重要特點是與高等數學的知識接軌，對學生的創新和想象能力有所挑戰。這里筆者談談如何運用構造幾何圖形來解題。

例1：一個四面體共用一個頂點的三條棱兩兩垂直，其長分別為1，■，3，且四面體的四個頂點在一個球面上，求這個球的表面積。

解析：四面體ABCD，A點出發的三條棱AB、AC、AD兩兩垂直，求其外接球的表面積，需求外接球的半徑，就要找球心O，直接做難度很大。我們要抓住A點出發的三條棱AB、AC、AD兩兩垂直，可以把這個四面體放在一個長方體中，所以可以構造一個長方體ABED－CFGH，那么，四面體ABCD的外接球即構造的長方體的外接球，所以這個外接球的直徑為長方體的體對角線，設半徑為R，2R=AG，AG2=1+6+9=16，所以這個球的表面積S＝4пR2=16п。

例2：設正四面體ABCD棱長為■，求外接球的體積。

解析：求正四面體外接球的體積，需求外接球的半徑，球心在正四面體的高線上，可以通過計算得到，但較麻煩，速度慢。我們可以通過構造一個正方體來解決，如上圖2（2），在正方體中，連接A、B、C、D四個頂點，根據正方體的面對角線都相等，得到ABCD正四面體，ABCD正四面體和構造的正方體有共同的外接球，只需求正方體外接球的體積。由正四面體的棱長為■，可知構造的正方體的棱長為1，那么正方體的體對角線為■，設外接球的半徑為R，2R=■，R=■，所以V=■пR3=■п。

例3：設f（x）=■a，b∈R，且a≠b。求證：|f（a）-f（b）|<|a-b|。

分析：從形式上看，此題屬于代數中的函數問題，可以用導數和斜率知識來解決。這里我們用構造圖形來解。∵a≠b，不妨設a>b，∵f（a）=■，f（b）=■，如圖3構造三角形：構造如圖的Rt△OAP，其中OP=1，OA=a，OB=b，顯然，PA=■=f（a），PB=■=f（b），AB=a-b，在△PAB中，有|PA-PB|

例4：如圖4（1），在三棱錐P-ABC中，若PA=BC=2■，PB=AC=10，PC=AB=2■，求三棱錐P-ABC的體積。

解析：直接去算難度比較大，但換個角度，若仔細觀察已知條件，注意到三棱錐的三組對邊兩兩相等，我們就可以通過整體補形構造圖形，將P-ABC三棱錐放到一個特定的長方體中，從而來解決問題。

構造長方體AEBG-FPDC，易知三棱錐P-ABC的各邊分別是長方體的對角線，不妨令EP=x，EB=y，EA=Z，則由已知條件得x2+y2=100x2+z2=136y2+z2=164，故x=6y=8z=10，從而

VP-ABC=VAEBG-FPDC-VP-AEB-VC-ABG-VB-PDC-VA-FPC=VAEBG-FPDC-4VP-AEB=6×8×10-4×■×6×8×10=160。

構造幾何圖形就是補形，或把題中的圖形置于另外的圖形中，或把代數問題轉化為幾何圖形。如何構造圖形，構造什么樣的圖形，要根據題中已知條件的特點，思維活躍，善于創新，勇于開拓，結合學過的圖形，展開豐富的空間想象，構造的圖形應該比較常規，比較特殊，比較常見，便于計算。