淺談在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的逆向思維能力

逆向思維是一種重要的思維方式，它有悖于人們通常的習慣和思維方式，當人們處理、解決問題出現(xiàn)困惑或困難時，采用逆向思維往往能使問題豁然開朗，迎刃而解。在日常工作和生活中，受思維定勢的影響，人們總是習慣于采用正向思維去處理、解決問題。學生在學習過程中也習慣于采用正向思維，解決問題一旦采用正向思維出現(xiàn)困難，便苦思冥想也無法解決。因此培養(yǎng)學生的逆向思維能力，對于全面人才的創(chuàng)造能力及解決問題能力具有非常重大的意義，而通過數(shù)學教學培養(yǎng)學生的逆向思維能力是重要的渠道之一。

一、在新課教學中培養(yǎng)學生的逆向思維能力

中學數(shù)學教材中相對較少出現(xiàn)要運用逆向思維來解決的問題，即使出現(xiàn)這樣的內(nèi)容也引不起師生的注意，因此，利用教材內(nèi)容對學生進行逆向思維訓練的機會不多，由此導致學生的逆向思維能力很差。由于他們受教材內(nèi)容的影響，使他們的思維活動長期處于正向思維活動之中，因此，給出一個數(shù)學問題之后，他們總想力圖通過正向思維來解決問題。但是，有很多數(shù)學問題利用正向思維很難解決。如果改變一下思維方式，采用逆向思維去思考，就可以使問題得到很方便的解決，甚至可以得出一些創(chuàng)新的解法，獲得一些創(chuàng)新的成果。縱觀中學數(shù)學教材內(nèi)容，我們還是能找到一些數(shù)學知識中應用了逆向思維，如反證法等。于是我們就應該充分利用這些知識在新課教學中加強對學生逆向思維能力的培養(yǎng)。數(shù)學證明中的反證法是應用逆向思維的典型例子。

例1：求證：a>b>0?圯■>■(n∈N，n>1)。

說明：如果用正向思維，直接進行證明難度較大，但是，采用逆向思維，我們可以把它的成立等同于其反問題的不成立（反問題即：■≤■）。然后，我們只要證明這個反問題的成立是錯的，那么原題即可得證。

證明：假設所求證的結(jié)論不成立，則■≤■，即■<■或■=■。

當■<■時，根據(jù)不等式性質(zhì)得到a

當■=■時，有a=b。

這都與a>b矛盾，所以■>■。

在新課講解中讓學生明白有些題目需要我們從問題的多角度去考慮，當從正面考慮出現(xiàn)困難時就要從問題的不同方面去思考。

二、在解題中培養(yǎng)學生的逆向思維能力

1.公式的逆用。由于學生習慣于用正向思維去思考問題，一碰到需要逆用公式才能解決的題目往往便是學生的薄弱之處，因此我們要在解題中利用公式的逆用有意識地培養(yǎng)學生的逆向思維能力。如對數(shù)運算法則：

（1）loga(MN)=logaM+logaN；（2）loga■=logaM-logaN；（3）logaM?琢 =αlogaM。我們經(jīng)常會碰到它們的逆用。通過對公式的正向運用和逆用，使學生在解題時靈活應變，一些公式正向運用不能解決的問題，就考慮逆用，這樣問題可以得到飛速解決，而且很可能有絕妙的方法。

2.正難則反。當正面思考求解問題遇到困難時，考慮未知量的反面情況，即從條件的反面去進行思索，通過求解反面而抵達正面，這樣往往能產(chǎn)生“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”之效。

例2：一凸多邊形有且只有3個內(nèi)角是鈍角，這樣的多邊形的邊數(shù)的最大值是多少？

分析：本題若從多邊形的內(nèi)角和去考慮較復雜，但從外角和去考慮，就會輕而易舉地得以解決。因為任何多邊形的外角和都是360°，而360°=4×90°，故一凸多邊形最多有3個外角是鈍角，又因為多邊形的內(nèi)角與其相鄰的外角是互為鄰補角，故一凸多邊形最多有3個內(nèi)角是銳角。而此多邊形恰有3個內(nèi)角為鈍角，因此這樣的多邊形的邊數(shù)的最大值是6。

3.逆向聯(lián)想。從問題相反的方向或角度去聯(lián)想，也能找到解決問題的方法，從而可以發(fā)現(xiàn)換個角度看問題有時會有意想不到的收獲。

例3：解方程：x4-10x3-2(a-11)x2+2(5a-6)x+2a+a2=0

分析:這是關(guān)于未知數(shù)x的4次方程，但系數(shù)中含有參數(shù)a。因為x為4次，直接解此方程很困難，而參數(shù)a最高為2次，我們考慮反客為主，視a為未知數(shù)，解關(guān)于a的二次方程，因此將原方程變形為：a2-2(x2-5x-1)a+(x4-10x3+22x2+12x)=0，解得a=x2-6x，或a=x2-4x-2。再解此關(guān)于x的二次方程，得x1，2=3±■，x3，4=2±■。

4.逆向化歸。人們在處理、解決問題時，按照習慣的思維途徑往往會出現(xiàn)較繁、較難或一些邏輯上的困惑，這時，若從問題的另一面入手，對其條件、結(jié)論、求解程序、推理步驟進行逆向化歸，這種順繁則逆、正難則反的適時措施會使我們有意外的發(fā)現(xiàn)。

例4：若a、b、c為實數(shù)，A=a2-2b+π/2，B=b2-2c+π/3，C= c2-2a+π/6，則A、B、C中至少有一個值大于0。

證明：本題不便采用分情況討論的方法，而宜采用逆向思維的方法，將所要證明的命題轉(zhuǎn)化為證明一個更強的結(jié)論。事實上，只要證明A+B+C>0，原命題也就得到了證明。

∵A+B+C

=a2-2b+π/2+b2-2c+π/3+c2-2a+π/6

=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+π-3>0

∴A、B、C中至少有一個值大于0。

綜上所述，在數(shù)學新課教學和解題中教師應善于利用教材和練習鼓勵和引導學生對數(shù)學問題所涉及的知識進行多角度分析和思考，從正向和逆向研究分析問題，探尋新穎的解決問題方法，達到培養(yǎng)學生的逆向思維能力，進而培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新精神的目的。