在數學教學中培養學生的思維能力

數學教學實踐表明，會思維的學生才會學習.要使學生真正成為學習的主人，要使學生的數學學習活動成為一個活潑的、主動的過程，我們必須讓學生學會思維，掌握創新性的學習方法.

一、讓學生學會縱向思維

縱向思維是指在一定的結構范圍中，按照有順序的、可預測的、程式化的方向進行的思維方式.由于縱向思維遵循由低到高、由淺入深、由始到終、由因到果等線索，因而思維清晰明了，合乎邏輯.它是一種符合事物發展方向的思維方式，是數學學習中最基本的思維方式，是進行創新的必要條件.數學運算和數學推理往往是由始到終，由因到果的，所以它們一般均屬于縱向思維.推理論證主要體現在幾何知識的學習中，而推理論證學習是初中幾何學習的難點.我們不僅要重視在幾何教學中教會學生推理，而且要在代數中有意識地引導學生進行推理，這樣，既可以降低學生學習幾何推理的難度，又可以為學生學習縱向思維提供更多的空間.

【例1】 計算(- 10) -（-3）．

引導學生進行推導：

∵（-7）+（-3）=-10(加法法則)，

∴ (- 10)-（-3）=-7（減法意義），

又∵（- 10）+3=-7（加法法則），

∴(-10)-（-3）=(-10)＋3(等量代換).

歸納有理數減法法則：“減去一個數，等于加上這個數的相反數”.

這是在有理數減法法則的推導中學習推理，教學中應嚴格要求學生按法則和步驟進行運算，這既是強化各項數學基本技能所必需的，也是訓練學生掌握嚴謹、規范的縱向思維所需要的.

二、讓學生學會發散思維

發散思維是指從已知信息中產生大量變化的、獨特的新信息中，沿著不同方向進行思維的方式.如數學教學中引導學生一題多變或一題多解是教會學生發散思維的有效途徑.

【例2】 已知 14（b-c)2=（a-b）（c-a），且a≠0，則b+ca的值等于 .

解法1 用主元法，將a視為主元，由已知可得：4a2-4a(b＋c)+(b＋c)2=0，

分解因式，得［2a-(b＋c)］2=0，即2a=b＋c，由于a≠0，故有b+ca=2．

解法2 利用配方，由已知得：(b-c)2=4(a-b)·（c-a），從而0=［-(a-b）-(c-a)］2-4（a-b）(c-a)=(a-b)2+2(a-b)(c-a)+(c-a)2-4(a-b)(c-a)=(a-b)2-2(a-b)(c-a)+(c-a)2=［（a-b）-(c-a)］2=（2a-b-c）2．

故2a-b-c=0，即2a=b＋c，由于a≠0，故有b+ca=2．

解法3 構造一元二次方程，由已知得：(b-c)2=4(a-b)(c-a)，故方程t2＋（b-c）t＋（a-b）（c-a）=0有兩個相等的實數根，分解因式，得：

［t-(a-b)］［t-(c-a)］=0，t1=a-b;t2=c-a，故a-b=c-a，2a=b＋c，由于a≠0，故b+ca=2．

解法4 利用等比性質，(1)當a=b，或a=c時，均有a=b=c，從而b+ca=2.

(2)當a≠b，a≠c時，b-c2(c-a)= 2(a-b)b-c= b-c+2(a-b)2(c-a)+b-c=2a-b-c-2a+b+c=-1=2(a-b)b-c.

∴ c-b=2a-2b， c+b=2a，由于a≠0，故b+ca=2.

解法5 輔助未知數法，注意到已知等式關于b、c對稱，因此，可令b=x+y， c=x-y，則x=b+c2，y= b-c2.由題設得：y2=(a-x-y)(x-y-a).化簡，得(x-a)2=0，即x=a.

所以，b+c2=a，故b+ca=2.

學生學會了發散思維，可以全方位地考慮問題，沿著不同的方向去思考、探索，尋找盡可能多的設想、思路、可能性和聯系，從而開發學生的智力，培養學生靈活運用知識的能力，使學生的思維流暢，能隨機應變，達到高效學習的目的.

三、讓學生學會逆向思維

逆向思維就是有意識地從常規思維的反方向去思考問題的思維方式.這種思維方式具有很大的創造性，往往會發現解決問題的新方法、新思路.教學中，我們可以有意設置障礙，引導學生學會在思維遇到障礙時，迅速轉向，從相反的方向、角度去思考問題，從而找出解決問題的方法.這樣有利于防止思維僵化，拓寬思路，活用知識.

【例3】 若下列兩個方程

x2-2(a-1)x＋(a2+3) =0……(1)

x2-2ax＋a2-2a+4=0……(2)

至少有一個方程有實數根，求實數a的取值范圍.

分析此題，若從正面思考，必須對“兩個方程均有實數根”，“方程(1)有實數根而方程(2)無實數根”，“方程(2)有實數根而方程(1)無實數根”三種情況逐一討論，顯然冗繁.為此可以引導學生從兩個方程中至少有一個方程有實數根的反面：兩個方程都沒有實數根去考慮，從全體實數中排除“兩個方程都沒有實根”時的a值，就是所求答案.于是得到以下解法．

若兩個方程都沒有實根時，有

4(a-1)2-4( a2 +3)<0，

4a2-4(a2-2a+4)<0．

解這個不等式組，得-1< a<2.所以，所求實數a的取值范圍為a≤-1或a≥2．

【例4】 設a、b、c是整數，求證ax2+bx+c=0的判別式不能為1990，1991.

分析:從正面證明此題很困難，可以引導學生從反面思考．假設Δ= b2-4ac=1990成立，即Δ=b2-4ac=4×497+2，這里b必是偶數（若b是奇數，則b2也是奇數，又4ac為偶數，則b2-4ac必為奇數，而4×497 +2為偶數，矛盾）．令b=2m，則有4m2-4ac=4×497+2，本式的左邊是4的倍數，而右邊卻不是4的倍數，矛盾，故Δ不可能為1990.類似方法可以證明Δ也不可能為1991.

四、讓學生學會直覺思維

數學中的直覺思維是指人腦對數學對象及其結構關系敏銳的想象和迅速的判斷，它包括直覺想象和直覺判斷.由于直覺過程具備直接性與快速性，表現為對事物的認識往往是瞬間完成的，所以直覺是創造性思維的重要組成部分.

【例5】 已知方程12-xx+1=12，求xx+1的值．

分析:本題通過解分式方程可以求得結果，但若能根據這個方程的整體結構，可以立即得出xx+1=0，這就是直覺判斷的結果.

數學的直覺雖然沒有明顯的中間推理過程，但要求必須準確領會概念的定義、公理、法則、定理等數學基礎知識.如分解因式4x2-y2-y-116.如果不能正確理解和體會平方差公式和完全平方公式，就很難洞察出其中的分組方法，從而進行因式分解，所以，要培養學生的直覺思維能力，首先應加強基礎知識的教學.

數學基礎知識是構成數學直覺的基石，但學生僅有數學基礎知識還是不足以筑成數學直覺的能力，還應注意引導學生積累一些典型的、特殊的數學思想方法和技巧，如類比，歸納等，以豐富學生的表象儲備，完善學生的知識結構.

興趣對激發靈感有著重要作用，一個對數學不感興趣的學生，對數學學習只能是被動的.學生對數學對象的領悟和洞察，并非是一朝一夕的，它需要持之以恒的毅力，維護學生毅力的內在因素是興趣，培養對數學的學習興趣，可使學生的注意力集中，便于領悟和洞察數學對象，提高數學直覺能力.

數學是一門對培養直覺能力非常有用的學科，如果一個學生在解決數學問題時，能夠對它的條件和結論之間隱蔽的錯綜復雜的關系，做出直接迅速的領悟，或直接、快速地悟出這個問題的可能結果，這就是數學直覺的表現.

數學的直覺雖然沒有明顯的中間推理過程，但必須有相關的學科知識作為基礎，所以培養學生的直覺思維能力，首先應加強基本知識的教學，注意培養學生的基本能力，豐富學生的表象儲備，完善學生的知識結構；其次，要上好示范練習課，示范練習對理解和運用知識，歸納揭示解題方法和規律，明確解題步驟、程序等都具有導向作用.因此，教學過程中，應注意指導學生審題，學會運用有關知識、原理解答問題，并評價解題結果，以加強學生對問題的洞察力和對問題本質及內在聯系的理解，這樣也有利于直覺思維的形成和發展.

五、讓學生學會橫向思維

橫向思維，是指突破問題的結構范圍，從其他領域的事物、事實中得到啟示而產生新思路的思維方式.橫向思維一改解決問題的一般思路，試圖從別的方面、方向入手，所以它的思維廣度大大增加，有可能從其他學科領域中得到解決問題的啟示，橫向思維在創造性活動中往往起著很大的作用.

【例6】 如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，F為AD上一點，且AF∶FD=1∶5，連結CF并延長交AB于E，則AE∶EB= ．

分析:一般解法是過點D作平行線，現在我們可以打破學科間的界線，利用物理學中的杠桿原理來解決此題.

設C為支點，在B處掛1單位的重物，由杠桿原理可知，D點承受的力為2個單位；再設F為支點，由AF∶FD=1∶5，則A承受的力為10個單位，以E為支點考慮，結合B點受力1個單位，從而有AE∶EB =1∶10.

教學中，引導學生用解析法證明平面幾何命題，用幾何法、三角法解代數問題，用函數思想解決方程問題甚至用其他學科知識解決數學問題等，都是教會學生進行橫向思維的有效途徑.

(責任編輯 易志毅）