巧用數形結合 發揮奇特功效

在歷年的數學高考題中，無論是客觀題，還是主觀題，不少題都蘊涵著數形結合的思想；加強對中學數學知識所蘊含的數學思想方法的考查，具體要求體現在通性通法的運用上，更充分說明作為中學數學的四種重要數學思想方法之一的數形結合思想在高考中有著舉足輕重的地位．數形結合思想是解答高考數學試題的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題時發揮著奇特功效，這就要求我們在平時學習中加強這方面的訓練，以提高學生的解題速度和解題能力．下面我從四個方面談談數形結合的簡單應用.

一、構建函數模型并結合圖象，研究方程根的范圍、不等式的解集、參數范圍

【例1】 直線y=x+b與曲線y=1-x2有兩個交點，求b的取值范圍．

分析:本題的常規思路是：聯立直線和曲線方程，在x∈［-1，1］內，方程Δ＞0，思路是十分清晰的，但由于解題過程比較復雜，一般不宜采用．

圖1解析:根據題意作出圖形，如圖1所示.

(注意：y=1-x2x2+y2=1;x∈［-1，1］;y∈［0，1］.

同時，y=x+b可以看作由y=x平移而來．)

由圖形可以比較直觀地得到b的兩種臨界情況：

Ⅰ：直線過點(1，0)時，b1=-1.

Ⅱ：直線和曲線(半圓)相切于c點，利用點到直線的距離公式得：b2=2.

答案：b∈(-1，2).

點評：在求取b的取值范圍時要注意臨界點不能取到．

二、構造函數模型研究量與量之間的大小關系，函數的單調性

圖2【例2】 已知函數f(x)=log2(x+1)，若0 解析：作出f(x)的圖象，f(a)a，f(b)b，f(c)c可看作函數圖象上的點（a，f(a)）、(b，f(b))、(c，f(c))與原點連線的斜率，易知f(c)c 點評：要學會抓住所比較式子的幾何意義，充分利用圖象的直觀性解決問題.

三、構建立體幾何模型，研究代數問題，研究圖形的形狀、位置關系、性質等

【例3】 若三棱錐A-BCD側面ABC內一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動點P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是（）.

圖3分析：此題將立體幾何與解析幾何巧妙結合，是對過去分離考核的創新．可先考慮特殊圖形，當AC⊥平面BCD時，如圖4，將問題轉化為P到AB的距離和BC距離相等的點的軌跡，顯然P點軌跡是∠ABC的平分線．

圖4 圖5當AC不垂直平面BCD時，如圖5所示，P到平面DBC和邊BC的距離分別為h，dBC，設A-BC-D的大小為θ，ｄABdBC＝ｈdBC＝sinθ≤1，故選D.

點評：解決此類問題的關鍵是要善于利用空間幾何性質，將問題轉化到平面幾何中，再利用平面幾何的相關性質就比較容易解決.

四、構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題

圖6【例4】 求函數y=3-sinx2-cosx的值域.

解析：聯想到直線中已知兩點求直線的斜率的公式k=y2-y1x2-x1，將原函數視為定點P(2，3)到動點(cosx，sinx)的斜率，又知動點(cosx，sinx)滿足單位圓的方程，從而問題就轉化為求點P（2，3）到單位圓連線的斜率問題，作出圖形觀察易得：最值在直線和圓上點的連線和圓相切時取得，從而得解：y∈［6-233，6+233］.

點評：①如果存在分母為零的情況在解題時應加以注意．②臨界點可以取到．本題從函數本身的形式入手，引入直線的斜率，結合圖形，從而使問題得到巧解．

（責任編輯 黃春香）