書山有路勤為徑

摘要：數(shù)學(xué)的三種基本數(shù)學(xué)能力（邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力）之一的空間想象能力（所謂空間想象能力，就是人們對客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象思維的能力。）使很多到了高三的學(xué)生還感到猶豫和苦惱的，如何培養(yǎng)這項(xiàng)能力呢？在數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其是在立體幾何教學(xué)中是很多學(xué)生所需求的。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；幾何；數(shù)學(xué)教學(xué)；教師；學(xué)生；畫圖

中圖分類號(hào)：G632.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2012）05-171-02

眾所周知，為了更好的突出高考的選拔作用，現(xiàn)在數(shù)學(xué)試題的命題已強(qiáng)調(diào)了“以能力立意”，即從問題入手，把握學(xué)科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)組織材料，對知識(shí)的考察傾向于理解和應(yīng)用，特別是知識(shí)的綜合性和靈活運(yùn)用。這就表現(xiàn)在能否從題目的條件或結(jié)論中獲得確切的信息；能否從記憶系統(tǒng)中提取與題目有關(guān)的信息；對從雙方面提取的信息能否進(jìn)行有機(jī)組合；組合能否條理化的整理形成解題的行動(dòng)序列；在實(shí)施解題序列過程中，推理與運(yùn)算能否順利完成，種種表現(xiàn)概括為我們常說的四大能力——邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力和分析問題與解決問題的能力。

畫圖

學(xué)習(xí)立體幾何首先就要對基本的幾何圖形必須非常熟悉，能正確畫圖，能在頭腦中分析基本圖形的基本元素之間的度量關(guān)系及位置關(guān)系。所謂基本的幾何圖形是指在課本中的概念、定理、推論和例題以及部分練習(xí)中所出現(xiàn)的附圖，特別是圖中基本元素之間的度量關(guān)系及位置關(guān)系尤為重要。譬如：我們經(jīng)常看到這樣的條件“已知三個(gè)平面α、β、γ，其中α⊥β、β⊥γ、γ⊥α…”那么圖形該如何畫呢？“墻角…”——我的學(xué)生會(huì)異口同聲答道，這就是平常積累素材所達(dá)到的效果，但是僅僅積累不行，還要善于組合。因?yàn)橄胂蟛⒗L制正確的空間圖形是學(xué)習(xí)和解答立體幾何問題的基礎(chǔ)。透過空間圖形，把握各種幾何元素（點(diǎn)、線、面、角度、距離）之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以啟迪思維，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律。我曾經(jīng)在課堂上提過這樣一道陳題——“有三個(gè)角是直角的空間四邊形不一定是矩形，對嗎？”雖然學(xué)生們都說對，但究其原因，有的說不出、有的說是猜的，理由是“空間四邊形嘛！”——好一個(gè)空間四邊形！德國數(shù)學(xué)教育理論專家棟科教授認(rèn)為——思維著的教學(xué)活動(dòng)決定著學(xué)習(xí)的質(zhì)量。于是我開始幫助他們整理素材（借助教室）——“把教室中間的橫梁看成幾何線段a，與之相交的墻柱為線段b，則a⊥b，接著找三位學(xué)生“表演”，學(xué)生甲站在墻柱邊，學(xué)生乙站在教室的一個(gè)墻角處，則甲乙構(gòu)成線段c，即a與c異面，最后請學(xué)生丙從學(xué)生甲處側(cè)著走到學(xué)生乙處，在此過程中，讓其左臂側(cè)平舉保持與c重合，右臂前臂舉以成直角，眼睛始終望著橫梁的另一端點(diǎn)，當(dāng)這一點(diǎn)與右臂共線時(shí)即停。”此時(shí)，我請全班同學(xué)看好這一時(shí)刻構(gòu)成的空間四邊形，大家倍感興奮，都想重溫一次，而我則提出問題：此圖中由哪幾個(gè)基本圖形組合的呢？話音剛落，學(xué)生丙就答道——是由異面直線上兩點(diǎn)間距離的附圖與三垂線定理的附圖合成的。

變圖

所謂變圖是指遇到有關(guān)客觀世界中實(shí)際物體的問題時(shí)，我們可以撇開抽象的空間圖形所代表實(shí)際物體的那些物理性質(zhì)、化學(xué)性質(zhì)等，而只研究它們的幾何性質(zhì)，即變客觀世界在實(shí)際物體為數(shù)學(xué)中的幾何圖形。由于空間圖形的抽象性，一個(gè)圖形可以是許多實(shí)際物體的抽象形式，而且有時(shí)還可以不必畫出其全貌，只要畫出圖形的骨架就能體現(xiàn)圖形的本質(zhì)特征，這樣可以刪繁就簡，排除干擾，使圖形簡明清晰，利于解決問題。在數(shù)學(xué)史上，“蜂房問題”曾吸引了許多人的關(guān)注。為了貯存蜂蜜和養(yǎng)育后代，一群蜜蜂可以在一晝夜間就能蓋起成千上萬間精致的蜂房。這一點(diǎn)引起了不少數(shù)學(xué)家的興趣，他們通過變圖，發(fā)現(xiàn)每一間蜂房都是一個(gè)六角形柱狀體，它的一端有一個(gè)平整的六角形開口，另一端則是閉合的六角棱錐形的底。因?yàn)殇仢M整個(gè)平面區(qū)域的正多邊形一共只有三種，即正三角形、正方形和正六邊形，而使用同樣的材料，正六邊形比正三角形和正方形具有更大的面積，由此解決了蜂房的奇妙結(jié)構(gòu)。與此同時(shí)，科學(xué)家們又通過變圖發(fā)現(xiàn)，蜂巢的底是由三個(gè)大小完全相同的菱形蠟板彼此毗鄰相接所拼成。公元1743年，蘇格蘭著名數(shù)學(xué)家馬克勞林利用初等幾何方法論證出此菱形的鈍角是，銳角是，且是最省材料的。這一點(diǎn)與法國自然科學(xué)家馬拉爾蒂測量出來的結(jié)果完全吻合，但后者卻不能得出緣由。正因?yàn)閿?shù)學(xué)家們的卓越論證，使人們了解了蜜蜂的“建筑藝術(shù)”，使建筑師們設(shè)計(jì)出許多質(zhì)輕、耐用、隔音、隔熱的“蜂窩結(jié)構(gòu)”，而這一切首先應(yīng)當(dāng)歸功于數(shù)學(xué)家們的成功變圖。變圖不僅如此，還能加深我們對概念的理解。例如，教材中關(guān)于二面角的闡述。開始利用人造衛(wèi)星軌道平面與赤道平面的關(guān)系引入，產(chǎn)生興趣，但并不易觀察，通過講解定義后，又引入了一個(gè)木工用活動(dòng)角尺測量了一個(gè)有關(guān)登山的問題，調(diào)動(dòng)大家的思路，并且畫出一個(gè)實(shí)物圖與幾何圖交合在一起的附圖，讓學(xué)生看的更加貼切，對二面角的概念也就印象深刻，故多看看書是非常必要的。

用圖

所謂用圖是指利用圖形來反映并思考用語言或式子所表達(dá)的空間形狀及位置關(guān)系。掌握這一點(diǎn)，首先就要能讀懂幾何語言。在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生不善于對數(shù)學(xué)語言的多種形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，尤其是對抽象的符號(hào)語言，常常有意回避，造成表達(dá)死板、思維僵化的惡果。去年我有幸參加了市教研室組織的高中學(xué)業(yè)水平測試的閱卷工作，批改的正是解答題中的一道幾何題。在閱卷中，我深切的體會(huì)到，有很多學(xué)生雖然了解題意，但就是講不清。譬如第一小題需證明兩個(gè)三角形全等，僅僅一個(gè)“”符號(hào)，難倒了無數(shù)“好漢”！有的用漢字“全等”、有的用“～”、有的干脆空著，好像在說——“就是那個(gè)意思嘛！”、還有的大概急了，竟用“”（化學(xué)里反應(yīng)式中的符號(hào)），細(xì)細(xì)一看，倒有幾分聯(lián)想！實(shí)際上，幾何語言的運(yùn)用一般都在教材中提到的。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好課本中精湛的數(shù)學(xué)語言，對課本中的概念、定理認(rèn)真辨析，甚至咬文嚼字，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)語言的基本功的形成。我曾在高中水平測試復(fù)習(xí)中布置了這樣的一份作業(yè)——把《必修2》中第二章所有的定理、推論，先用幾何語言表示出來，再畫出與之對應(yīng)的圖形，最后把所有有關(guān)作圖的語句摘錄下來。當(dāng)做完這份作業(yè)的同學(xué)都感到幾何語言從未有過的親切。因?yàn)橹挥辛私鈳缀握Z言，才能讀懂幾何語言，最后才能運(yùn)用幾何語言。下面請看這樣一道題：有不共面的三條互相平行的直線a，b，c，過a做平面α，使得b、c到α的距離相等，則這樣的平面有（）個(gè)。

A、1個(gè)B、2個(gè) C、4個(gè) D、無數(shù)個(gè)

此題，很多學(xué)生回答A或D。大概是受很多類似問題的影響，不是“一個(gè)”就是“無數(shù)個(gè)”。實(shí)際上是沒讀懂題意，準(zhǔn)確的說，是沒畫出圖形。不共面的三條平行線好畫，畫三棱柱的三條側(cè)棱就可以了，但再畫一個(gè)平面具備后面的條件，并且究其個(gè)數(shù)就比較麻煩。事實(shí)上，只要聯(lián)想到立體幾何中的“點(diǎn)——線——面”三者的關(guān)系，及時(shí)準(zhǔn)確的“降維”就可以解決問題，即等價(jià)于“平面內(nèi)有不共線的三個(gè)點(diǎn)A、B、C，過A做一條直線l，使得B、C到l的距離相等的直線有多少條”，于是圖形就好畫了。也可以說是俯視剛才的三棱柱吧。

四、識(shí)圖

所謂識(shí)圖就是指從復(fù)雜的圖形中能區(qū)分出基本圖形，能分析其中的基本圖形和基本元素之間的基本關(guān)系。例如，有這樣一道題：截面圖形是下圖中的（ ）

在一個(gè)倒置的正三棱錐容器內(nèi)放入一個(gè)鋼球，鋼球恰與棱錐的四個(gè)面都接觸上，過棱錐的一條側(cè)棱和高做截面，正確的

本題主要是考察空間圖形的組合以及空間想象能力。只要對多面體與旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)稍加熟悉，考慮周密，即能正確作答。球是旋轉(zhuǎn)體，有旋轉(zhuǎn)軸；正三棱錐是特殊的多面體，正三棱錐的三個(gè)側(cè)面與底面的高所成角均相等，且三個(gè)側(cè)面為全等的正三角形，故鋼球放入容器內(nèi)，球心必在這條高上，觀察選項(xiàng)，即排除C和D；又截面是過棱錐的一條側(cè)棱和高，故球的軸截面不可能與截面三角形的三條邊都相切，即排除A，得出正確的答案。

會(huì)畫圖是學(xué)習(xí)立體幾何的基本要求，畫好圖還要讓人看的懂就更為重要。畫家肯定是將自己感到滿意的作品向人展示的。所以當(dāng)能夠用圖形表示題目的條件信息時(shí)，也應(yīng)該會(huì)從圖中讀出題目的條件信息，即“會(huì)畫圖也會(huì)識(shí)圖”。這一點(diǎn)不僅僅在立體幾何中要求做到，就連函數(shù)中也要具備。

綜合上述四點(diǎn)，空間想象能力的培養(yǎng)猶如作家的寫作修養(yǎng)，在于平常積累素材，開動(dòng)腦筋，放開視野，多看看、多聽聽、多想想、多問問，當(dāng)然更主要的是多畫畫，正所謂“書山有路勤為徑”！