不等式(組)的巧用

摘要：自然界中絕對的相等時不存在的，相等與不等是相對的。那么在中學(xué)數(shù)學(xué)中為什么關(guān)于“相等”的問題學(xué)的很多，而關(guān)于“不等”的內(nèi)容介紹的很少呢？這是由學(xué)生的認(rèn)識水平?jīng)Q定的。為此適當(dāng)引進不等式的實際應(yīng)用就顯得尤為重要。

關(guān)鍵詞：不等式；整數(shù)解；實際應(yīng)用

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）05-042-01

不等式是數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要的內(nèi)容，在新的課程標(biāo)準(zhǔn)中已明確提出具體目標(biāo)要求：1、能夠根據(jù)具體問題中的大小關(guān)系了解不等式的意義，并會探索不等式的基本性質(zhì)。2、會解簡單的一元一次不等式（組），并能在數(shù)軸上表示他的解集。3、能夠根據(jù)實際具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式（組），利用它的特殊解解決簡單的實際問題。其中第三個目標(biāo)，就是應(yīng)用所學(xué)的不等式（組）的知識來分析和解決實際問題的要求。

一、比較明顯的可以應(yīng)用不等式（組）來解決問題

例1：在一次“人與自然”的知識競賽中，競賽試題共有25道題，每一題都給出四個答案，其中只有一個答案正確，要求學(xué)生吧正確的答案選出來，每道題選對得四分，選錯或不選的扣2分。如果一個學(xué)生在本次競賽中得的分?jǐn)?shù)不低于60分，那么他至少得選對多少道題？

分析：根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)明顯有提示的字眼：“不低于”，可列出不等式。

略解：設(shè)選對的題數(shù)是x道，則選錯或不選的題數(shù)是（25-x）道，由題意可得：4x-2(25-x)≥60，

解之得：x≥110/6.又∵x只能取整數(shù)

所以至少選對19道題。

分析：上題有較為明顯的提示字眼“不低于”，因此比較容易想到利用不等式來解決。

二、不明顯的應(yīng)用不等式（組）來解決問題

有時用不等式的字眼不明顯，比較隱蔽，需要認(rèn)真挖掘隱含的實際意義，才能列出不等式（組）。

例2：某化工廠有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產(chǎn)產(chǎn)品共50件。已知生產(chǎn)一種A型產(chǎn)品，需要甲種原料9千克，乙種原料3千克，可獲利700元；生產(chǎn)一種B型產(chǎn)品，需要甲種原料4千克，乙種原料10千克，可獲利1200元。

1、按要求安排A、B兩種型號產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有幾種生產(chǎn)方案？請你設(shè)計出來。2、設(shè)生產(chǎn)A、B兩種型號產(chǎn)品總獲利為y(元)，其中一種的生產(chǎn)件數(shù)為x件，試列出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說明（1）中的哪種生產(chǎn)方案所獲利潤最大？最大利潤是多少？

分析：此題從文字意義上找不到明顯的列不等式（組）的語句，最易列出方程。但從實際意義上考慮：生產(chǎn)50件產(chǎn)品不容許把原料全部用完（用不完更好），隱含著利用不等式（組）來解決問題。

解;1、設(shè)生產(chǎn)A種型號產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種型號產(chǎn)品（50-x）件，由題意可得：

不等式組： 9x+4(50-x)≤360 ①

3x+10(50-x)≤290②

解之得：30≤x≤32

∵x只能取整數(shù)∴該不等式組的整數(shù)解為30、31、32.

即生產(chǎn)方案共有三種：

方案1、生產(chǎn)A種型號產(chǎn)品30件，B種型號產(chǎn)品20件；

方案2、生產(chǎn)A種型號產(chǎn)品31件，B種型號產(chǎn)品19件；

方案3、生產(chǎn)A種型號產(chǎn)品32件，B種型號產(chǎn)品18件。

2、設(shè)生產(chǎn)A種型號產(chǎn)品的件數(shù)為x件，則生產(chǎn)B種型號產(chǎn)品（50-x）件，由題意可得：

利潤y=700x+1200(50-x)=-500x+60000

又∵-500<0，∴該一次函數(shù)中y隨x增大而減小。

∴當(dāng)x=30時，y的值最大。

即：按照第一種生產(chǎn)方案來安排生產(chǎn)，總獲利最大，最大利潤是：-500*30+60000=45000（元）

評析：本題的難點在于文字長、數(shù)據(jù)多、結(jié)論不唯一，具有一定的探索性，且貼近生活，綜合了不等式（組）、函數(shù)等知識與方法，但學(xué)生容易犯以下三種錯誤：

1、列出方程9x+4（50-x）=360和3x+10（50-x）=290，

解出x=32和x=30，不知道該如何回答后面的問題。 2、列出方程9x+4（50-x）+3x+10（50-x）=290+360，解出x=20. 3、9x+4（50-x）+3x+10（50-x）≤360+290，解出x≥20，后面的問題也是同樣不知如何回答。

三、間接應(yīng)用不等式解決問題

例3：某單位計劃10月份組織員工到A地旅游，人數(shù)估計在10到25人之間，甲、乙兩旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且組織到A地的價格都是200元，該單位聯(lián)系時，甲旅行社表示可給予每位游客七五折優(yōu)惠；乙旅行社表示可免去一位旅客的旅游費用，其余游客八折優(yōu)惠。問該單位應(yīng)該怎樣選擇，使其支付的旅游總費用較少？

分析：怎樣選擇旅行社，實質(zhì)上就是對兩個旅行社的費用進行比較，即：間接利用不等式來解決問題。

解：設(shè)該單位到A地旅游的人數(shù)為x人，選擇甲旅行社的費用為y1元，選擇乙旅行社的費用為y2元。由題意可得：

y1=200*0.75x=150x，

y2=200*0.8（x-1）=160x-160.

1、若y1=y2，解得：x=16；2、若y116；3、若y1>y2，解得x<16。

所以：當(dāng)人數(shù)為16人時，選擇甲或乙旅行社支付的費用一樣；當(dāng)人數(shù)為17-25人之間時，選擇甲旅行社的總費用比較少；當(dāng)人數(shù)為10-15人之間時，選擇乙旅行社的總費用比較少。

綜上所述，可以看出在應(yīng)用不等式（組）解決問題時，有時有明顯提示有時則沒有，這就需要我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中教會學(xué)生如何研讀，找出條件所在，列出不等式（組）求解問題。