基于“過程→生成”的教學理念

摘要：論述了基于“過程→生成”理念的基克問題解決教學模式，給出了相應的教學案例。

關鍵詞：過程→生成；基克問題解決模式；有理系數多項式；可約性；教學設計

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）05-015-03

培養學生的問題解決能力，已是各國教育改革中倍受關注的問題，然而我國的實際教學卻不盡如人意，尤其是高等數學課堂，大都沉浸在“定義→性質→定理→例題”的注入教學中，無益于數學素質的提高與創造型人才的培養。為何如此？一是遺傳多年的傳統觀念的冥頑不化，二是教育研究重理論而不重實踐。筆者倡導“過程→生成”教學理念，本文給出基于“過程→生成”理念的基克問題解決模式教學設計實例。

一、過程→生成理念

基于過程哲學思想，參照基礎教育新課改的三維目標，筆者提出“過程→生成”教學理念：

教學是動態的知識生成過程。該過程始于某種背景，在思想、情操的層層支配下，激發對學習目標的步步追求，從而誘導已有知識、技能、方法的循循攝入，形成流變與合生：在流變中創造新知識、練就新技能、獲得新方法、增長新智慧、形成價值觀、積聚創造能量。

過程→生成不是過程與生成的簡單疊加，而是強調在過程中生成(因為對教學而言，有教學過程未必有生成，有生成未必有良好的過程)，其中過程是基礎，生成是創造，二者缺一不可，相輔相成。

過程→生成教學以過程哲學為世界觀，以意會哲學為認知論，以知識在過程中生成為基本策略，以動態性、整體性、連續性、攝入性、生成性為基本原則。

二、基克問題解決模式

20世紀初以來，人們對問題解決及其相關思維技能作了大量的研究，尤其是自皮業杰的認知理論面世和認知心理學產生以后，人們更熱衷于從認知的角度來解釋人類解決問題的過程，更真實地描述了人類解決問題的動態過程，基克問題解決模式(圖1所示)就是其中之一。

三、基于“過程→生成”理念的基克問題解決教學模式

遵循“過程→生成”理念，參照基克問題解決模式，提出基于“過程→生成”理念的基克問題解決教學模式如下：

1、提出問題

2、理解表征問題

找出相關信息，忽略無關細節，分析詞句含義，理解表征問題。許多問題中，運用圖形表征可能更有助于理解整個問題。在理解表征問題過程中，若問題的解析與頭腦中已有的的解題系統產生某種匹配(即“圖式激活”)，則直接進入嘗試解答階段，否則需要尋求解答的路線。

3、尋求解答路線

尋求解答路線的一般方法可能有算法式和啟發式，常用的啟發式有目的分析法、逆向反推法、爬山法、類比思維法等。如果尋求失敗即退回到№2。

4、嘗試解決方案

亦即是執行解答計劃，此時要保證每一個步驟的正確。

5、評價總結

當完成某個解決方案后，要對結果進行評價總結。如果成功且滿意就停止，那么就要對求解過程予以完善且建構；否則就退回到前面幾個階段，重新求解。

需要注意的是，如此分步只是一種表述形式，實際的問題解決過程并非為如此線性，可能是跳來跳去的、跨步的。

基于“過程→生成”理念的基克問題解決教學重在體現具有動態性、整體性、連續性、攝入性和生成性的問題解決過程。

四、案例設計

在高等代數教材或教學中，關于有理系數多項式的可約性都是直接定義本原多項式，直接給出高斯引理，直接給出愛森斯坦判別法，無益于數學素質和創造能力的培養。本文使用基于“過程→生成”理念的基克問題解決模式，給出有理系數多項式的可約性問題的教學設計，意在拋磚引玉，達到棄絕注入式教學模式的目的。

1、問題提出

我們知道，在上只有一次多項式不可約多項式，在上只有一次或二次不可約多項式，但在上卻有任意次不可約多項式．那么就存在問題：如何判斷有理系數多項式在上的可約性？

2、理解和表征問題

（1）分析聯想：激活基本圖式

有理數，即整數之比，聯想到解分式方程去分母，頓悟出：有理系數整系數。如，顯然與在上有相同的可約性，此例具有一般性。于是有理系數多項式在上可約性的研究可歸結為整系數多項式在上的可約性來研究。

（2）奇思異想：初擬求解路線

設，討論的可約性。因為整系數容易處理，并且“在上可約在上也可約”，所以如果能證明“在上可約在上可約”，那么有理系數多項式在有理數域上可約性問題即可以轉化為整系數多項式在整數環上來研究，倘若如此豈不快哉！因此我們大膽地確定問題解決路線：

嘗試證明以上“期望”：在上可約在上可約；

當“期望”成立時，尋求整系數多項式在整數環上可約性的判別方法。

3、尋求解答

探究：設且在上可約，為簡明起見，簡寫為，探究過程見圖2。

圖2說明：只要證明的系數互素，我們的期望就能夠實現。注意到，其中是系數的最大公因數，所以的系數互素。于是所要證明的問題即是“由、的系數互素推出的系數互素。為了表述方便，稱系數互素的整系數多項式為“本原多項式”。這樣所證問題即可表為：

猜想I：本原多項式的乘積是本原多項式。

4、嘗試解決方案

（1）試證猜想I

設、都是本原多項式，且，，要證是本原多項式，即需證明。但因為的系數是抽象的而無法直接推演，故考慮反證法。

假如，為爭取更好的可用條件，取的素因子而代替。分析已知條件與的關系：因為、都是本原多項式，所以的系數中存在著不能被整除的數，的系數中也存在著不能被整除的數，于是應抓住這些不能被整除的系數來“做文章”。不過因為或者中不能被整除的系數并不確定，所以如何“抓”就成了問題。然而“槍打出頭鳥”卻隱喻著深刻的數學哲理：第一個、最大的、最小的等等都是很好的數學方法！所以不妨設、…、但，、…、但，依此假設及素數的性質即可推得，獲得矛盾，所以猜想成立，亦即是得到了高斯引理。

至此我們得到結論“若，則在上可約在上可約”。于是可進入。

（2）進入

①表征問題 設，尋求在上可約性的判別方法。這是毫無目標的問題，不過作為判別方法，自然應該從的系數著手。這樣問題的關鍵詞即是“系數”、“分解”等，因此我們聯想到高斯引理及其證明：其一，本原×本原＝本原，從左往右看是乘法，但從右往左看即是因式分解；其二，高斯引理揭示的是系數之間的關系。