積分上限函數的教學探討

摘要：積分上限函數是抽象的數學概念，學生理解非常困難。本文探討將該概念具體化，使學生直觀理解該概念，達到事半功倍的教學效果。

關鍵詞：積分上限函數；具體化

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）05-006-01

一、積分上限函數教學的常見誤區

設函數在閉區間上的連續，當時，函數在上的定積分叫做積分上限函數。為方便起見，我們也把積分上限函數記為。積分上限函數是推導牛頓-萊布尼茲公式的理論依據，推導的關鍵是要搞清楚積分上限函數與被積函數的關系。然而許多教材上對積分上限函數的導數做了較為詳細的證明，但結論的直觀性不強。從而導致如下兩個方面的教學問題：1、由積分上限函數到牛頓-萊布尼茲公式的跨越還需要證明，人為加大學生認識過程的曲折程度；２、對積分上限函數求導數結論不易理解，尤其是積分上限為中間變量的情形。

二、積分上限函數與被積函數的關系

如果函數在上連續，當時，考察積分上限函數的導數與被積函數的關系。

設，若，使，則

=，應用積分中值定理，有等式成立，兩邊同除得積分上限函數的平均變化率為，

由于函數在閉區間上的連續，當自變量的增量時，，因此，因而積分上限函數的平均變化率的極限值

存在，即=，亦即

若，取，同理可證；若，取，同理可證。

到此，就證得積分上限函數的導數等于，即積分上限函數是被積函數的一個原函數。事實上，可以將積分上限函數與被積函數的關系具體化。

對于區間上的連續函數，不妨設，則積分上限函數可以表示為，

這里之所以用表示積分常數，是因為積分上限函數是一個確定的函數。為了進一步確定，令，有，得。因此，積分上限函數與被積函數的關系如下：設函數在閉區間上的連續，如果，則（1）

同理可得變上限為中間變量的情形

（2）

三、牛頓-萊布尼茲公式的推導

如果利用上面的推導，積分上限函數與被積函數的關系已經很明確，即在式（１）或（２）的基礎上，直接令，就得閉區間上的連續函數的定積分即牛頓-萊布尼茲公式 （3）

相比較許多教材的推導而言，將積分上限函數與被積函數的關系具體到式（１）或（２），就完全不需要單獨利用積分上限函數證明牛頓-萊布尼茲公式的正確性，而且這種推導比教材的繁瑣推導要簡單的多。牛頓-萊布尼茲公式是積分上限函數在上限取定值時的特殊情況。這樣，更能體現知識的整體性，使學生的思維從數學概念的迷宮中解脫出來，便于學生對知識的理解和掌握。尤其是能使學生對積分上限函數的導數概念理解更準確。

四、積分上限函數的導數

對積分上限函數求導數，尤其是積分上限為中間變量的情形，學生往往不易理解．其原因在于學生對積分上限函數與被積函數的關系的理解很模糊，教材呈現給學生的是積分上限函數的導數等于被積函數在積分上限處對應的函數式，只知道是被積函數在變量時的一個原函數。如果對該積分上限函數求導數，那么根據導數運算與積分運算的互逆關系，應該還原為被積函數。如此反復，使學生的思維在數學概念之間打轉，很容易使抽象思維能力薄弱的學生因缺乏耐性而失去學習興趣。如果借助于特定的數學符號，使上述各關系體現在數學符號之間的轉換，則能使各函數之間的關系更具體、更直觀，也能使學生對概念及公式更好的理解和應用。由前面的關系，如果積分上限是自變量，則

如果積分上限是可導的中間變量，則=

即 =。