對平面幾何中幾個最值問題的分析

【中圖分類號】G633.63 【文獻標識碼】A【文章編號】2095-3089（2012）07-0167-02

在最近幾年各省市數學中考試卷的最后一道綜合題中，出現了一些最值問題，這些最值問題的提出通常是在平面直角坐標系中，與二次函數的知識綜合在一起，但問題往往不能用函數最值的知識去解決，新課程的教材中又找不到相關練習，因此，這些最值問題給學生的中考答卷造成了相當大的困難。實際上，解決這種最值問題用到的都是平面幾何中的知識，并且它們的解決思路有一定的規律可循。筆者在初三總復習階段，對平面幾何中常見的幾個最值問題先抽取出它們的一般化幾何模型，集中起來讓學生進行對比學習，然后再加以應用，獲得了較好的教學效果。

一、幾個最值問題的一般化幾何模型

1.已知直線ｌ及其同一側的點A、B，在直線 ｌ上有一個動點P，當點P在什么位置時，能使PA+PB的值最小？

解析：作點A關于ｌ的軸對稱點A′，連接A′B，交直線ｌ 于點P，則AP= A′P ，所以AP+PB=A′B。當點P在直線ｌ上其它位置時，AP+PB= A′P+PB， 這是點A′、B′之間的折線長，根據“兩點之間的所有連線中，線段最短”可得，AP+PB= A′P+PB> A′B。

所以，當點P是直線A′B與直線ｌ 的交點時，PA+PB的值最小。PA+PB的最小值就是A′B。

2.已知直線ｌ及其同一側的點A、B，在直線ｌ上有一個動點P，當點P在什么位置時，能使 AP-BP的值最大？

解析：作直線AB交直線ｌ于點P，則 AP-BP=AB ；當點P在直線ｌ上其它位置時（如圖），根據三角形任意兩邊之差小于第三邊可得 AP-BP< AB。

所以，當點P是直線AB與直線ｌ的交點時， AP-BP的值最大， AP-BP的最大值等于AB。

3.已知線段AB和AB外的一點C，在線段AB上有一個動點P，當點P在什么位置時，能使點A、B到直線CP的距離之和最大？

解析：設點A、B到直線PC的垂線段分別為AM、BN 。過點C 作線段AB的垂線，垂足為P，則AM+BN=AP+BP=AB；

當點P在直線AB上其它位置時（如圖），根據“直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短”可知AM＜AP， BN＜BP，則AM+BN＜AP+BP=AB。

所以，當點P是過C點的垂線段的垂足時，AM+BN的值最大，AM+BN的最大值等于AB。

4.已知在平面內有兩條直線m 和n互相垂直，線段AB與直線m 、n沒有公共點。在直線m 、n上分別求點M、N，使AM+MN+BN最短。

解析：作點A關于直線m的對稱點A′，作點B關于直線n的對稱點B′，連接A′B′，分別交直線m 、n于點M、N，則AM+MN+BN= A′B′。

若點M、點N都在其它位置時，則AM+MN+BN=A′M+MN+B′N，這是點A′、B′之間的折線長，根據“兩點之間的所有連線中，線段最短”可得AM+MN+BN=A′M+MN+B′N >A′B′。

所以，當點M、N是直線A′B′與直線m 、n的交點時，AM+MN+BN最短，AM+MN+BN的最小值等于A′B′。

最值問題也是動點問題，教師要讓學生學會用運動變化的思想來分析問題，并從這些問題的解法中總結它們的的共同特點，掌握規律，又要注意區分這幾個問題在條件、解法上的不同之處，避免混淆。

二、幾個最值問題的應用

解決以上四個最值問題用到的都是一些基本的圖形性質，如線段的性質、垂線的性質、三角形三邊的關系、軸對稱的性質等，但是由于解決這些最值問題對學生的邏輯推理能力、對思維的深刻性有較高的要求，所以它們往往與二次函數的知識綜合在一起，成為中考數學的壓軸題。在教學中，教師要引導學生結合不同的問題情景，分析問題和解決問題，還要把平面幾何中的最值問題與二次函數的最值問題區分開來。這樣，學生在解決此類綜合題的時候，才能游刃有余，迅速而又正確地找到解題的思路。下面通過兩個例子來說明。

例1：已知直線y＝■x＋1與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線y＝■x2＋bx＋c與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為(1，0)。

（1）求該拋物線的解析式；

（2）動點P在x軸上移動，當△PAE是直角三角形時，求點P的坐標；

（3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AM－MC|的值最大，求出點M的坐標。

解析：此題的第（3）問是把上文一般模式中的第2個最值問題放在了二次函數的問題情景中，由第（1）問確定的拋物線解析式y=■x2-■x+1可知，拋物線的對稱軸是直線x=■， 因為B、C兩點關于直線x=■對稱，所以，MC＝MB。要使|AM－MC|最大，就是使|AM－MB|最大。所以，當A、B、M在同一直線上時，|AM－MC|的值最大，|AM－MC|的最大值等于AB。 由A（0，1）、B（1，0）容易得出直線AB的解析式為y=-x+1，所以，直線AB與對稱軸直線x=■的交點就是M（■，－■）。

例2：以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系。已知OA＝3，OC＝2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處。

（1）直接寫出點E、F的坐標；

（2）設頂點為F的拋物線交y軸正半軸于點P，且以點E、F、P為頂點的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；

（3）在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由。

解析：此題的第（3）要使四邊形MNFE的周長最小，只要FN+NM+ME的值最小即可。由上文的一般模式中第4個最值問題的分析可知，作點E關于x軸的對稱點E′，作點F關于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M、N，則點M、N就是所求點。容易得出BF′=4， BE′=3，所以， FN+NM+ME=E′F′=■=5。

又EF=■=■，所以，FN+NM+ME+EF=5+■，此時四邊形MNFE的周長最小值是5+■。