對一道課本典型例題的質疑

【中圖分類號】G633.63 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2012）07-0150-01

高中數學第二冊（06年版）（下）立體幾何一章中有這樣一道例題：一個角所在平面外一點到這個角的兩邊的距離相等，則該點到這個平面的射影在角平分線所在直線上。

對此例題的證明本文不去探討，只對所涉及的問題做一探討：

（1）依據角的定義，角的邊是射線，而點到射線的距離是無定義的概念。命題中出現未知的數學概念，這是不符合題目科學性要求的。

（2）即使給出點到射線的距離的定義，不論怎樣定義，命題的結論都不可靠：

若依據“距離”的概念：“x∈A，y∈B，則∣xy∣的最小值稱作AB之間的距離”。據此給出點到射線的距離：射線OX外一點A與射線OX上的點B的連接線段AB長度的最小值稱點A到射線OX的距離。據此會發現：過點A作射線OX所在直線的垂線，當垂足在射線OX的反向延長線上時，點A到射線OX的距離是線段OA的長度。由此定義，當過平面外一點P向∠AOB的兩邊作垂線A’P、B’P時，若A’、B’都在∠AOB的兩邊的反向延長線上，則線段OP的長度就是P點到∠AOB的兩邊的距離，而此時線段A’P、B’P可能不相等，則P點到平面的射影是包含∠A’OB’的內部的一片區域，顯然結論不成立。

若這樣定義點到射線的距離：射線外一點到射線的距離是該點到射線所在直線的距離，則當過平面外一點P向角AOB的兩邊作垂線段A’P、B’P時，若點A’在射線OA上，而點B’在射線OB的反向延長線上，這時雖有A’P=B’P，依據三垂線定理易得P點的射影在∠AOB的補角的平分線上，結論依然不成立。

（3）課本上的證明增加了一個“潛在假設” ：點的射影在角的內部。在這個“潛在假設”之下，結論是成立的，其它沒有涉及，因此證明是不完全的。

一個角所在平面外一點到這個角的兩邊的距離相等這個條件，并不能保證該點的射影在角的內部，因此，本命題的結論不一定成立。

通過以上分析可知：本命題是一個錯題！

若要作為一個三垂線定理應用的典型例題，就必須將這個“潛在假設”并入命題的條件之中。具體證明本文略去。