關于高等數學教材中的幾處注記

【摘要】通過舉例說明時下很多高等數學教材中關于函數極值及不定積分的定義存在漏洞，并通過參考國外的教材相應給出了更加準確的定義。摘要對時下通行的很多高等數學教材中關于無窮小比較的解釋提出不同看法。通過舉例及證明說明兩個無窮小之比極限的不同情況并非反映了不同的無窮小趨于零的“快慢”程度，而是反映了兩者與零的差距的遠近。

【關鍵詞】極值 不定積分 原函數

【基金項目】華北電力大學科技學院教育教學改革研究項目（104011）

【中圖分類號】O172 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2012）07-0146-01

關于一元函數y=f(x)的極值，在很多高等數學教材中都是如此定義的：設y=f(x)在點x0 的某鄰域內有定義，若在該鄰域內任一點x≠x0，恒有f(x)＜f(x0)（或f(x)＞f(x0)），則稱f(x0)是函數 f(x)的一個極大值（或極小值）。

按此定義可得出極值是局部的最值，但局部最值未必是極值的結論。例如：

f(x)=x2，0≤x＜11，1≤x≤2，圖形如圖所示，

此函數在(0，2)上有最值1，而按上述極值定義在(0，2)內卻不存在極值。如此一來，在求最值問題時常采用的先求出函數的極值，然后與區間邊界點及不可導點處的函數值進行比較從而確定出函數欲求最值的方法就有漏洞了。

那應如何定義極值才更準確呢？國外的一些教材普遍采用如下定義：若存在點x0的某鄰域，對于鄰域內的任意點x，恒有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），則稱f(x0)是函數f(x)的一個極大值（或極小值）。這樣定義，無論是從直觀感覺還是科學嚴謹的角度看都更加合理，在求解一些實際問題的最值時，也會更加方便。

關于不定積分很多高等數學教材是如此定義的：稱函數f(x) 的全部原函數為f(x)的不定積分，記作■ f(x)dx。按照如此的定義，不定積分■ f(x)dx是f(x)全體原函數的集合。這樣的定義在解釋某些問題時比較困難。例如：計算■ exsinxdx，正確運算如下：

■exsinxdx=-excosx+■excosxdx=-excosx+exsinx-■exsinxdx，（1）

于是

2■exsinxdx=-excosx+exsinx+C1，（2）

所以■exsinxdx=■e■(-cosx+sinx)+C， 其中C=■C■，按上述不定積分的定義，⑴式左右兩端的■exsinxdx是同一個函數集合，按集合的性質，它們在合并后仍應是同一函數集合，那⑵式左端的因子2似乎無法解釋，另外⑵式右端為何加上C1？同樣不好解釋。但若不加，等式右端只是一個函數，與左端的函數集合顯然不等。

而若把不定積分■f(x)dx定義為f(x)的任意一個原函數，則上述問題都可得以很好的解釋。由于⑴式左右兩端的■exsinxdx各是exsinx的任一個原函數，則兩者只相差一任意常數C1，從而在把⑴式右端的■exsinxdx移到左端后，可合理變形成⑵式。由此可見，如此定義應該是更科學一些。

時下通行的幾種高等數學教材中，在講到無窮小的比較這部分內容時，都會解釋說：“兩個無窮小之比的極限的不同情況反映了不同的無窮小趨于零的‘快慢’程度。”如同濟第五版《高等數學》第七節內容在開始時舉例說，因為“■■=0，■■=∞”，所以可以說，“在x→0的過程中， x■→0比3x→0‘快些’，反過來3x→0比x■→0‘慢些’”。

我們知道，“快慢”是用來形容速率的，“快”即指速率大，“慢”則指速率小。下面來看這樣一個問題：設有兩個質點，它們的位置函數分別為x1=t及x2=t2。其中t表示時間變量，即于某時刻t時，兩質點在同一數軸上的位置坐標分別為t及t2。當t→0時，x1，x2均為無窮小，且■■=■■=0，所以x2是比x1高階的無窮小。由導數的物理意義，可得兩質點的速率：x′■=■=1，x′■=■=2t。但易看出，當0＜t＜■時，0＜x′■＜x′■，即x′■的數值反比x′■的數值大。由此例即可看出，如果用“快慢”來解釋兩無窮小的比較似乎有些不妥。

那應如何說才會更準確些呢？不妨以高階無窮小的比較且x→x0的情形加以說明。其它情形同理可得。由高階無窮小的定義：

■■=0，其中α(x)≠0，■α(x)=0，■β(x)=0。

用極限定義對其進行解釋，即?坌ε＞0（不妨設0＜ε＜1），當0＜x-x■＜δ時，恒有■-0＜ε，即β(x)＜εα(x)＜α(x)，所以當0＜x-x■＜δ時，便有β(x)-0 ＜α(x)-0成立。

由上例及上述證明過程可以看出，兩個無窮小的比較并不能準確地反映兩無窮小趨于零的“快慢”程度，它們只是反映了兩者與零的差距的“遠近”。高階無窮小與零的差距相對較近，而低階無窮小與零的差距相對較遠。

參考文獻:

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