對角線在數學教學中的妙用

【中圖分類號】G633.63 【文獻標識碼】B【文章編號】2095-3089（2012）07-0145-01

我們知道，平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對角線的性質和判定非常重要，下面結合例題認識一下它們的運用：

例1：（如圖）已知?荀ABCD的周長為20cm，對角線AC、BD相交于點O，過點O作AC的垂線，分別交AD、 BC于點E、F，連接CE，求△CED的周長。

分析：由?荀ABCD可知對角線AC、BD互相平分，又過O點作AC的垂線，分別交AD、 BC于點E、F，可以得到以A、F、C、E四點為頂點的四邊形是菱形，所以CE=AE，進而求出△CED的周長

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且周長為20cm

∴OA=OC ∠EAO=∠COF AD+DC=10cm

在△AOE和△COF中

∠EAO=∠FCO

OA=OC

∠AOE=∠COF

∴OE=OF

又 OA=OC EF⊥AC

∴四邊形AFCE是菱形（對角線互相垂直平分的四邊形是菱形）

∴CE=AE

△CED的周長= CD+DE+CE=CD+DE+EA=AD+CD=10（cm）

總結：本題中首先根據?荀ABCD的對角線互相平分的性質得到OA=OC，再利用EF⊥AC且互相平分的條件得到四邊形AFCE是菱形，實現△CED的周長=AD+CD轉化的。

例2：（如圖）已知四邊形ABCD中，點E、F是對角線BD上兩點，且BE=DF

(1)若四邊形AECF是平行四邊形，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。

(2)若四邊形AECF是菱形，那么四邊形ABCD是菱形嗎？為什么？

(3)若四邊形AECF是矩形，那么四邊形ABCD是矩形嗎？為什么？

(4)若四邊形AECF是正方形，那么四邊形ABCD是正方形嗎？為什么？

解：（1）∵四邊形AECF是平行四邊形 ∴OA=OC OE=OF（平行四邊形對角線互相平分）又∵BE=DF

∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD

∴四邊形ABCD是平行四邊形

（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）

（2）∵四邊形AECF是菱形

∴OA=OC OE=OF AC⊥EF

（菱形對角線互相垂直平分）

又∵BE=DF

∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD AC⊥BD

∴四邊形ABCD是菱形（對角線互相垂直平分的四邊形是平行四邊形）

（3）∵四邊形AECF是矩形

∴OA=OC OE=OF AC=EF（矩形對角線互相平分且相等）

又∵BE=DF

∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD 顯然 BD ﹥EF

∴AC≠BD

∴四邊形ABCD是平行四邊形

（對角線互相平分但不相等的四邊形是平行四邊形）

（4）∵四邊形AECF是正方形

∴OA=OC=OE=OF AC⊥EF（正方形對角線垂直平分且相等）

又∵BE=DF

∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD顯然 BD ﹥EF

∴AC≠BD AC⊥BD

∴四邊形ABCD是菱形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）

這道題目充分利用了平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對角線的性質和判定，能極大的提高同學們的運用能力，希望同學們認真領會。