二項式定理問題常見類型及其解法

【中圖分類號】G633.62 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2012）07-0139-01

特別提示：二項式定理是高中數學的重要內容之一，復習這部分內容應著重處理好以下五類問題：一、正確認識二項式定理的特征，利用二項式定理進行化簡與計算；二、應用二項式的通項求展開式中的某些特定的項；三、利用賦值法求二項展開式系數的代數和；四、求展開式的系數最大項和二項式系數的最大項；五、證明某些整除問題或求余數。

1.利用二項式定理進行化簡與計算

例1 化簡下列各式

（1）(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)

（2）1+2C■■+4C■■+…+2nC■■

答案：（1）原式= C■■(x-1)5+C■■(x-1)4·1+C■■(x-1)3·12+C■■(x-1)2·13+C■■(x-1)·14+C■■·15-1

=[(x-1)+1]5-1=x5-1

（2）原式= C■■1n+C■■1n-1·2+C■■1n-2·22+…+C■■·2n

=(1+2)n=3n。

【歸納與小結】 此題以代數式化簡為背景，著重考查二項式展開式的特征：（1）展開式有n+1項；（2）展開式按字母a的降冪，字母b的升冪排列，且每一項的次數為n，把代數式轉化為符合上述特征，就可以化繁為簡，注意適當變形。

2.求展開式中特定的項

例2（1）(■-■)15的展開式中的常數項為____。

（2）(■+■)12的展開式中，含x的正整數次冪項共有____項。

（3）(1-2x)5(2+x)的展開式中x3的系數是____。

答案：（1） Tr+1=C■■(■)15-r(-■)r=C■■(-1)rx■

令5-■r=0 ∴r=6， Tr+1■=C■■(-1)■=10010

（2）T■=C■■(■)■(■)r=C■■x■ ∴r為6的倍數且r=0，1，2，…12

∴r=0，6，12 ∴ 共有3項含x的正整數次冪。

（3）(1-2x)■的展開式的第r+1項為C■■(-2x)■，T■=C■■(-2x)■=-80x■

T■=C■■(-2x)■=40x■2， ∴(1-2x)■(2+x)的展開式中含x3的項為-80x■·2+40x■·x+=-120x■，所以x■的系數為-120。

【歸納與小結】二項展開式的通項公式為Tr+1=C■■a■b■(r=0，1，2，…，n)集中體現了二項展開式中的指數，項數，系數的變化，它在求展開式的某些特定項（如含有指數冪的項、常數項、有理項、系數最大的項等）及其系數等方向有著廣泛的應用。

3.賦值法

例3 設(2-■)■=a■+a■x+a■x■+…+a■x■，求下列各式的值：

（1）a■

（2）a■+a■+…+a■

（3）a■+a■+a■+…+a■

（4）(a■+a■+…+a■)■-(a■+a■+…+a■)■

答案：（1）令x=0，展開式可化為a■=2■

（2）令x=1，可得

a■+a■+a■+…+a■=(2-■)■…………①

∴a■+a■+…+a■=(2-■)■-2■

（3）令x=-1可得

a■-a■+a■-a■…+a■=(2+■)■…………②

（①-②） ÷2可得 a■+a■+…+a■=■

（4）原式

=[(a■+a■+…+a■)+(a■+a■+…+a■)]×[(a■+a■+…+a■)-(a■+a■+…+a■)]

=(a■+a1+…+a■)(a■-a■+a■+…+a■-a■+a■)=（2-■)■(2+■)■=1

【歸納與小結】本題是應用賦值法求二項展開式系數問題，注意取值時要有利于問題的解決，可以取一個值或n個值，也可以取n組值，解題時要注意不要出現漏項。

4.求二項式系數最大的值與展開式系數最大的項

例4 已知(x■+3x2)n的展開式各項系數和比它的二項式系數和大992，求：

（1）展開式中第幾項的二項系數最大

（2）展開式中系數最大的項

答案：由條件可得4n-2n=992，∴2n=32，n=5，展開式中第三項與第四項的二項式系數相等且最大，最大二項式系數為10。

（3）設第r+1項系數最大，則有

C■■·3r≥C■■·3■C■■·3r≥C■■·3■則■≥3■3■≥■

即

r+1≥3(5-r)3(6-r)≥r ， ∴■≤r≤■且r=0，1，2，3，4，5 ∴r=4

所以系數最大項為T■=C■■(x■)(3x■)■=405x■。

【歸納與小結】1.求二項式系數最大項的方法:（1）如果n是偶數，則中間一項（第■+1項）的二項式系數最大；（2）如果n是奇數，則中間兩項（第■與第（■+1）項）的二項式系數相等且最大。2.求展開式系數最大項，如求(a+bx)■(a，b∈R)的展開式系數最大的項，一般采用待定系數法，設展開式各項系數分別為 A■，A■，…，A■且第r+1項系數最大，應用A■≥A■A■≥A■從而解出r來即可。

5.利用二項式定理證明整除問題或求余數問題

例5 已知n∈N■，求證：1+2+2■+2■+…+2■能被31整除。

答案： ∵1+2+2■+2■+…+2■=■=2■-1=32■-1

=(31+1)■-1=31■+C■■31■+C■■31■+…+C■■31+1-1

=31(31■+Cn■31■+…+C■■ )

故原式能被31整除。

【歸納與小結】 在證明整除問題或求余數問題時要進行合理的變形，使被除式（數）展開式后的每一項都會有除式的因式，要注意變形的技巧。

二項式定理是歷年高考命題的一個重點，典型問題有：（1）求展開式中特定的項；（2）求系數問題；（3）整除或余數問題；（4）證明或化簡簡單的恒等式。涉及的題型通常有解答題、選擇題、填空題，因此高三數學復習必須重視上述類型問題的求解訓練，提高學生處理二項式定理問題的能力。