《二項式定理》教學中的數學思想方法

【摘要】在發揚我國“雙基”教學的同時，關于提升“數學思想方法”在中學數學教學中的應用，落實素質教育，已成為數學教育界的普遍共識，本文僅以《二項式定理》的公式教學為例，來說明數學思想方法在基本概念和基本公式的教學中的地位和作用。

【關鍵詞】二項式定理 數學思想方法 中學數學 素質教育

【中圖分類號】G633.62 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2012）07-0137-01

我們完全可以使《二項式定理》一節的教學，充滿自主學習的智慧與創造。用數學思想方法來處理教學，是達成這一教學目的的重要手段。缺乏數學思想使公式教學陷入機械記憶的問題長期存在，我們可以通過加強數學思想方法在教學中的應用這一辦法來改變這一現狀。

1．推導(a+b)n的展開式的教學設計中蘊含的數學思想方法解析

1.1 歸納法的應用

二項式展開式公式的學習內容出現在高中課本第二冊（下）第十章的第三節，在探索公式(a+b)n形成的過程中，我們可以對n施行不完全歸納法，使學生由特殊性事例總結出一般性的規律，從而達到掌握公式(a+b)n的展開式的目的。為此，設計以下問題讓學生運算。

n=2時， (a+b)2=(a+b)(a+b)= ？…………………………（1）

n=3時， (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)= ？……………………（2）

n=4時， (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=？………………（3）

…… …… …… …… …… …… …… …… …… ……

（1）式的結果顯而易見，但后面兩個式子的結論就不是那么明顯。波利亞在他的著作《怎樣解題》中這樣寫道：“即使是相當好的學生，當他得到問題的解答，并且很干凈利落地寫下論證后，就會合上書本，找點別的事來做。這樣，他們就錯過了解題的一個重要而有教益的方面。通過回顧所完成的解答，通過重新考慮和重新檢查這個結果和得出這一結果的路子，學生們可以鞏固他們的知識和發展他們解題的能力。”教師在教方面也常常有缺乏新舊之間的聯系的毛病。我們可以在（1）式的基礎上，讓學生重新回顧和總結得到這一結果的路子，從而進一步歸納出(a+b)3， (a+b)4， …， (a+b)n等式子展開式的學習方法。

1.2應用聯系與銜接的數學思想方法將新知學習轉化為舊知

聯系同學們已學過的一道例題，來對上述歸納法的實施和學生的自主學習提供具體的方法和保障。

例：兩個口袋都裝有黑白兩種顏色的小球各一個，現從中各取出1個小球：

（1）共有幾種不同的取法？

（2）所得2小球按顏色分可分為哪幾類？

（3）各類顏色在所有取法中所占的比例如何？是怎樣確定的？

該例題是學生在前面一節中很熟悉的一道基礎題，對于本例中的三個問題，其結論都與(a+b)2的學習存在著密切的聯系，解析如下。

問題（1）：其中的4個答案（白，白），（白，黑），（黑，白），（黑，黑）（寫在前面的文字表示從第一個口袋中取得的球的顏色，寫在后面的文字表示從第二個口袋中取得的球隊顏色）與(a+b)2=a2+ab+ba+b2有聯系，這是因為(a+b)2■(a+b)(a+b)后，再設a為白球，b為黑球，計算(a+b)2的問題就轉化為上述例題“兩個口袋都裝有黑白兩種顏色的小球各一個，現從中各取出1個小球，取法有幾種”的問題來解決，其結果a2+ab+ba+b2與（白，白），（白，黑），（黑，白），（黑，黑）4種結果發生對應。

問題（2）：由（1）的結論（白，白），（白，黑），（黑，白），（黑，黑）看出，所得2小球按顏色可分得的三類為：2白；1白1黑；2黑，很顯然，這與a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2產生對應。

問題（3）：取法中的三類顏色2白；1白1黑；2黑所占的比例為1：2：1的原因是2白?圳2個中取得黑球0個；1白1黑?圳2個中取得1個黑球；2黑球?圳2個中取得2個黑球，再考慮黑球來自于第一還是第二個口袋的可能性，故2白；1白1黑；2黑球可以分別用C■■，C■■，C■■來表示其產生這三種結果的方法數，且C■■：C■■：C■■=1：2：1。產生2白；1白1黑；2黑的方法數是C■■，C■■，C■■，這與a2+2ab+b2=C■■a2+C■■ab+C■■b2產生聯系。

進一步概括起來就是：要想計算(a+b)2的結果，我們完全可以把問題化作“從分別裝有黑白兩個小球的兩個口袋中任意取出一個小球，共有幾種不同的顏色結果，這些小球的顏色結果所占的比例如何”的問題來解決。

同理在對于(a+b)3=？的問題，我們同樣可以化為 “從分別裝有黑白兩個小球的三個口袋中任意取出一個小球，共有幾種不同的顏色結果，這些小球的顏色結果的所占的比例如何”的問題來解決。其結果按顏色分類可以分為：3白；2白1黑； 1白2黑； 3黑，同理，將這4種顏色分別按黑球產生的個數從少到多排列后，再按黑球來自于哪個口袋來分，可以分別用C■■，C■■，C■■，C■■來表示它們的方法數。故(a+b)3=……=C■■a0b3+C■■a1b2+C■■a2b1+C■■a3b0。

………………………………………………………………這樣，歸納起來我們就得到：(a+b)n可以轉化為“從分別裝有黑白兩個小球的n個口袋中任意取出一個小球，共有幾種不同的顏色結果，這些小球的顏色結果的所占的比例如何”的問題來解決，這樣同學們很容易得到二項式定理：

(a+b)n=……=C■■a■+C■■an-1b+C■■an-2b2+…+C■■an-rbr+…+C■■b■。

特別指出，二項展開式的通項（即第r項）為：

TY=C■■a■b■ （r=0，1，2，3，…，n）

這樣，一個完整的二項展開式就呈現出來了，然而，公式推導過程中卻應用了諸多數學思想方法，學生掌握二項式定理及其推廣就容易得多了。關于應用數學思想方法來設計教學的實例隨處可見，本節利用前一節學生已有的排列組合知識來學習二項式定理，同樣，在學生掌握了二項式定理以后，將二項式定理展開式中各項系數解析為這些黑球來自于哪個口袋，對應地換成這些白球來自哪個口袋的問題，我們還可以在掌握了二項式定理的基礎上將其推廣為大學的內容，所以這些思想方法具有普遍的應用性。

2.二項式定理的推廣——貝努里定理

在每次試驗中，事件A發生的概率都是p，則在n次獨立試驗中，事件A發生r次（r=0，1，2，3……，n）的概率按二項式定理得： (p+q)■=C■■p■q■+C■■p■q■+C■■p■q■+…+C■■p■q■+…+C■■p■q■

特別指出，貝努里定理的通項（即在n次獨立試驗中，事件A恰好發生r次的概率）為P■=C■■P■q■（r=0，1，2，3，…，n）(p+q=1)

這樣，在數學思想的引導下，我們完成了高中到大學數學學習的一貫方法，可見數學思想方法可以上通大學數學課堂，下達中小學課堂教學，它的應用貫穿于整個數學學習的始終。

參考文獻：

[1]全日制高中數學教材第二冊（下A），人民教育出版社，2003年審定通過。

[2][美]波利亞：怎樣解題，科學出版社，1982年出版。

[3]張奠宙：2004年數學教育高級研討班紀要 中學數學教學參考 2005年第三期。

作者簡介：

侯淦洪，女，廣西宜州人，（1968-），1990年畢業于河池師范高等專科學校，2003年畢業于廣西民族大學數學函授本科班，在宜州市高中任數學教師，主要研究方向是“中學數學教材教法的研究與實踐”。