三角函數對稱軸的妙用

【中圖分類號】G633.64【文獻標識碼】A【文章編號】2095-3089（2012）07-0135-01

我們一般求三角函數單調性的基本方法是：函數y=Asin(ωx+φ)單調區間的確定，首先要看A，ω是否為正，若ω為負，則先應用誘導公式化為正，然后將ωx+φ看作一個整體，化為最簡式，再結合A 的正負，在2kπ-■≤x≤2kπ+■和2kπ+■≤x≤2kπ+■，k∈Z兩個區間內分別確定函數的單調增減區間。這里不僅涉及到還原的數學思想，而且要用到不等式的性質，在教學中從學生掌握的情況來看，效果并不理想，那么是否有簡單的一些方法呢？筆者在思考這個問題時突然想到了求二次函數的單調性關鍵是找到對稱軸，然后結合函數圖像的開口方向來確定單調區間。那么三角函數的單調性可否用對稱軸入手解決呢？為了有個解法上的比較我們下面先用課本上的方法解決然后再用對稱軸的方法進行解決。

題目：求函數y=sin(■-■x)在區間[-2π，2π]的單調增區間。

解法一：（1）利用誘導公式把函數轉化為標準函數(y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0)的形式：

y=sin■-■x=-sin■x-■。

（2）把標準函數轉化為最簡函數(y=Asinx)的形式，令z=■x-■，原函數變為y=-sinz。

（3）討論函數y=-sinz的單調性，因為y=-sinz的單調性與函數y=sinz的單調性相反，所以函數y=-sinz的單調增區間是[2kπ+■，2kπ+■]，k∈Z，所以2kπ+■

即2kπ+■<■x-■＜2kπ+■，所以4kπ+■≤x≤4kπ+■，k∈Z。

（4）計算k=0，k=±1時的單調增區間

k=0時，■≤x≤■；k=1時，■≤x≤■；k=-1時，-■≤x≤-■

（5）在要求的區間內[-2π，2π]確定函數y=sin■-■x最終的單調區間：[-2π≤x≤-■]，[■≤x≤2π]

解法二：因為y=sinx的對稱軸方程為x=kπ+■，k∈Z所以令■-■x=kπ+■，k∈Z，即解得x=-2kπ-■，k∈Z。當k=0時，x=-■;k=-1，x=■，而-■，■∈[-2π，2π]，

由對稱軸方程知， 當k=0時，函數取最大值；當k=-1時，函數取最小值。

故[-■，■]上函數是減函數，所以區間[-2π，-■]，[■，2π]是函數的增區間。

總結：解法一是教科書提供的范例，是一種基本的方法，涉及到還原的思想，不等式性質的應用。解法二是利用函數圖像對稱軸來解決問題，眾所周知二次函數的單調區間由對稱軸分界（取得最值的地方就是分界點），由此想到三角函數的最值也是在單調分界處取得，所以求三角函數的單調性，只要求出它的對稱軸，然后根據取得最值的情況寫出單調區間。

另外求函數的值域及最值問題可以由單調性來求，那么求三角函數的值域及最值問題都可以由對稱軸來快速解決，特別是在考試時解決客觀題的好方法，下面我們再看一題。

題目：已知函數f(x)=2sin(2x-■)，x∈[0，■]，求f(x)的值域。

解：令2x-■=kπ+■，k∈Z，解得x=kπ+■，當k=0時，函數取得最大值且對稱軸x=■落在區間[0，■]內，所以函數的最大值為f(■)=2sin(2×■-■)=2sin■=2，函數的最小值為f(0)=-1，所以函數f(x)的值域為[-1，2]。若將條件x∈[0，■]改為x∈[0，■]，我們該如何做呢？

總結：首先求出函數的對稱軸，正弦函數y=sinx、余弦函數y=cosx的對稱軸方程都是x=kπ+■，k∈Z，當k取偶數時，此時函數取得最大值，當k取奇數時，此時函數取得最小值。然后判斷對稱軸是否落在了給定的范圍內，若在范圍內，如上題解決；若不在所給的范圍內，那就說明函數在給定的區間上單調，此時只要將區間的端點值帶入函數計算出數值后得到函數的值域或最值。

綜上，利用三角函數的對稱軸解決單調性、最值及值域時簡單有效，特別適合客觀題的解答；另外這種方法有效的杜絕了學生在解此類問題時，只代端點值求最值及值域的錯誤做法。