“說題”——數學試卷分析教學的好方法

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A【文章編號】2095-3089(2012)02-0040-01

在數學教學中，試卷分析經常容易被忽略，本文提出了數學試卷分析課讓學生“說題”這樣一種新的教學方式。主要探討如何“說題”，讓學生從不同角度、某些方面進行說題，從而提高課堂教學的質量，適應新課改所倡導的教學理念。

說題的內容主要涉及到四個方面：1.說題意；2.說思路；3.說變式；4.說規律。

那么一堂數學試卷分析課該怎么準備？筆者以平面向量數量積的坐標表示、模、夾角這節試卷分析課為例，旨在拋磚引玉。

一、爭先恐后說解法

案例1

設向量，，滿足++=，（-）⊥，⊥，若||=1，則的值是||2+||2+||2的值是 。

說明：本題考查的知識點是向量的模長運算，基礎題。有些學生感覺條件太多，不知道從何處理這些條件，最終有三個學生講了這道題目的做法。

生1：我用的是向量幾何法。從條件++=中，就可以構造一個直角三角形。如圖1，在△ABC中，其中⊥，且，，首尾相接，滿足++=。延長圖中BO=B'O，連接B'A得到圖2，=，=-由(-)⊥，可得∠BAB'=90°，由作圖可知△OAB與△OAB'全等，∠BAO=∠B'AO=45°而∠AOB=90°故△OAB為等腰直角三角形，所以，||=||=1，||=，故||2+||2+||2=4。

生2：我用的也是幾何法，但是我構造的是平行四邊形，即-為以和為鄰邊的平行四邊形的對角線。（圖、解題過程略）

生3：我用的是坐標運算法，因為⊥，且||=1，不妨設=(1，0)，=(0，b)，由++=，解得=(-1，-b)而-=(1，-b)，因為(-)⊥，所以(1，-b)·(-1，-b)=0即1×（-1）+b2=0，∴b=1

所以，||=||=1，||=，故||2+||2+||2=4。

師：根據以上三位同學出色的解法，誰能來小結一下本道填空題求模長的常用辦法呢？

生4：求向量模長的常用方法：用幾何法構造三角形或者平行四邊形，利用數形結合的思想；用坐標法一般需要有相互垂直的兩個向量比較合適。最后我還想補充說明一下，其實求兩個向量的夾角也可以用這幾個方法的。

學生自己的小結讓其他的同學受益匪淺，而且還會把自己的其他設想與大家一起探討，比教師教條式的說出結論收效更顯著。

二、七嘴八舌說變式

案例2

（1）已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(-)·(-)=0，則||的最大值是（ C ）

（A）1 （B）2 （C） （D）

（2）設，，是單位向量，且·=0，則(-)·(-)的最小值為(D)

（A）-2 （B）-2 （C）-1 (D) 1-

說明：以上兩題是試卷中分開的兩題，大家在激烈的討論完第（1）題用向量坐標法，向量代數法，向量幾何法構造圓三種方法來解決這個問題的時候，我特意將第（2）題這一題提上來分析，突然有一個學生在下面自言自語說：“我怎么覺得這兩道題感覺差不多呢？”于是就抓住這個機會問：“請大家思考一下這兩道題有什么相似之處，不同之處呢？”

生1：都有公共的條件，是平面內兩個互相垂直的單位向量。

生2：第一題是(-)·(-)的值為條件，求||的最值，而第二題則是||的值為條件，求(-)·(-)的最值。

……

課堂教學效果很大程度上取決于學生的參與情況，這就首先要求學生有參與意識，使學生真正成為課堂教學的主人，這是現代數學教學的趨勢。學生自己主動參與變式提高了趣味性，這不僅能使學生看到事物的表面現象，更能讓他們自覺地探索事物的本質，使他們明白復雜問題都是從簡單問題轉變而來的，消除了學生們的定勢思維和學習數學的畏難情緒，同時也提高了學生的數學研究和創新能力，使學生真正成為課堂教學主體。

三、各抒己見說結論

案例3

已知O，N，P在△ABC所在平面內，且||=||=||，++=0且·=·=·，則點O，N，P依次是△ABC的（C）

（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 內心

（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 內心

說明：本題考查的知識點為三角形的 “四心”的向量表示。

師：本道高考題對我們同學來說是小菜一碟，肯定能快速地解決，那么我們以前做過的一些練習中，你能想出三角形 “四心”的向量的其他表示形式嗎？此時學生馬上翻開自己以前的錯題本和筆記本紛紛尋找起來。

用說題的方式組織教學，能充分挖掘學生的潛能，使其主動參與思考，特別是試卷分析課，會讓學生的學習效果更好，課堂也會更精彩。