數學教學中如何激活學生的思維

【摘要】數學課是一門重點課，數學學得好差直接影響著其它學科的學習，而教師在教學方法又左右著學習的學習效率。

【關鍵詞】教學;激活;學生;思維

在中學的課程設備中，數學課是一門重點課，數學學得好差直接影響著其它學科的學習，而教師在教學方法又左右著學習的學習效率。

1 出示課題寓新奇

如何吸引學生的注意力，使他們一上課就進入角色，產生強烈的求知欲？這就需要教師出示課題寓新奇。例如在講授“對數”時，先讓學生口答24與43各等于多少？后指出如何表示16是2的多少次冪？64是4的多少冪？進而提問如何表示2是3的多少次冪？這樣，學生既感到驚奇，又迫切期待解決。于是提出課題“對數”。

2 推陳出新寓多解

課堂上選講的例題不宜過多，對典型的例題注意從知識的橫向聯系上去剖析，尋求多種解法，并通過方法的比較，鑒別優劣，推陳出新。例1：求過點P（2，3）并且在兩軸上的截距相等的直線方程。

解一：設所求值線方程為y-3=k(x-2)(k≠0)，令x=0得y=3-2k，即2k2-k-3=0，解之得k1=3/2，k2=-1，所求直線方程為y=3x/2或y=-x+5

解二：設所求直線方程為y=kx+b (k≠0)，令y=0得x=-b/k；由題意得：-b/k=b，解之得b=0或k=-1，因直線過點（2，3），所以3=2k+b，當b=0時k=3/2；當k=-1時，b=5，故所求直線方程為y=3x/2，或y=-x+5

解三：設所求直線與y 軸的交點為(0，b)，(b≠3)，則由兩點式得，即y=3……(1)令y=0得x=2-，又直線在y軸上的截距為b，則由題意得b=2-，即b2-5b=0，∴b1=0，b2=5，代入(1)，化簡得所求直線方程為y=3x/2或y=-x+5

解四：當所求直線在坐標軸截距不為零時，方程設為: x+y=a，截距為零時設為: y=kx，∵直線過點(2，3)，∴2+3=a或3=2k，即a=5或k=3/2，∴所求直線方程為y=3x/2或y=-x+5

3 探索規律寓變題

在數學教學中，對命題的變更、引申、推廣、挖掘典型題目間的內在聯系，組織知識網絡，縱向深化知識、無疑對培養應變能力、探索能力有所裨益。

例如，求點p(-5， 2)關于直線3x-y-3=0的對稱點的坐標。

解：設所求對稱點為p′（x′，y′），則由題意得x′-52=-13……(1)，3·x′52-y′+22-3=0……(2) ，由(1)(2) 得x′=7，y′=-2，∴所求的對稱點的坐標為（7，-2）。

變題一：求直線L1：2x-y+1=0關于直線L2：3x-y-3=0的對稱直線L的方程

思路一：設P(x， y)為所求直線L上任一點，它關于直線L2的對稱點為Q（x′，y′），則L2為線段PQ的垂直平分線，于是PQ中點M(x′+x2，y′+y2)在直線L2上，即3·x′+x2-y′+y2-3=0……(1)，由L2⊥PQ，即KL2？KPQ=-1……(2)，聯立(1)(2)得：x′=-(4x-3y-9)/5……(3) ，y′=(3x+4y-3)/5……(4) 由于Q(x′，y′)在L1上，∴2 x′，y′+1=0，將(3)(4)代入上式化簡得所求方程為11x 2y 26=0

思路二：根據L1與L2的角等于L2到L的角，利用，求出所求直線L的斜率，現求L1與L2交點會標，因該點在L上，故由點斜式可得方程。

思路三：求L1與L2交點坐標，再在L1上任取一點求出該點關于L2的對稱點，后由兩點式可得方程。

變題二：光線沿著直線2x y+1=0射入遇到直線3x y 3=0即行反射，求反射光線所在直線方程。

變題三：在△ABC中AB所在直線為2x y+1=0，∠BAC的平分線所在直線方程為3x y 3=0，求邊BC所在直線方程。

注：變題二、變題三是變題一的不同敘述方式，實質是同一題。而這樣一變縱向深化了知識激發了興趣，優化了教學結構，起到了“聞一知十”的教學作用。

變題四：即知圓C：（x+5）2+(y 2)2=1和直線L：3x y 3=0，求圓C關于直線L對稱的圓方程。

注意到所求對稱的圓半徑與已知圓半徑相等，故只需求圓心（-5，2）關于直線L的對稱點，這由原例1得C′(7，-2)，從而求這圓的方程為（x-7）2+(y+2)2=1，當然，這里還可按變題一的“思路一”解之。

于是可知“求曲線f(x，y)=0關于直線L：Ax+By+C=0的對稱曲線的方程”的一般方法，即按“思路一”根據PQ⊥L且PQ中點在L上，求x′=φ(x， y)，y′=ψ(x′，y′)得，后代入f(x′，y′)=0可得所求對稱曲線的方程。

4 求實補虛寓設錯

學生受思維定勢的消極影響或學得不實，常出現思維殘缺，忽視題中隱含條件。故在教學中善于利用一些具有隱含信息的題目，采用先出錯后糾正的方法加強辨異鑒別訓練，這不僅有利排除學生的思維障礙，更有利培養學生思維的深刻性批判性，提高學生思維品質。

例3，求函數y=log1/2(-x2+2x+3)的單調遞減區間。

錯解：令u=-x2+2x+3，則u=-(x 1)2+4，由二次函數性質知在u上(-∞，1)是增函數，又0＜1/2＜1，由對數函數性質知y=log1/2(-x2+2x+3)在上(-∞，1)是減函數，所求的單調遞減區間為(-∞，1)。

上面的解法觖視了函數的定義域。正確的解法是：由-x2+2x+3＞0得函數定義是（-1， 3），令u=-x2+2x+3，則u=-(x 1)2+4(-1＜x＜3) ，由二次函次性質知u在(-1， 1)上是增函數，又0＜1/2＜1，由對數函數性質知y=log1/2(-x2+2x+3)在上(-1， 1)是減函數，所求的單調遞減區間為(-1， 1)。

事實上，函數單調區間是建立在函數定義域基礎上，通過對錯解的剖析，只需求出“錯解”中得出的單調遞減區間與原函數的定義域的交集，即（-1，1） (-1， 3) =（-1，1）為所求的單調遞減區間。