從函數圖象看一元二次方程根的分布

為了適合中學生閱讀，這里先說時f(x)=ax2+bx+c的意義。它實際上就是二次函數記法，f(m)=am2+bm+C，例如對f(x)=x2+3x+2，則f(0)=2，f(1)=6。

方程的根的分布是個比較復雜的問題，我們可從數形結合的思想上來看，即從二次函數的圖像來考察一元二次方程根的分布。由于一元二次方程ax2+bx+c=0總可化為a>0的形式，因此下面只討論a>0的情況。

1、兩實數根都小于某常數k，即x10，（3）-b2a1k，x2>k，則有且只有：（1）△=b2-4ac≥0，（2）f(k)>0，（3）-b2a

2、某常數K在兩實根之間，即x10，（2）f(k)<0，但此時因為a>0圖像開口身上，f(k)<0，所以由此可以判斷圖像與x軸一定有兩個交點，故此時可略去△=b2-4ac0>0，即：當且僅當f(k)<0，x1

3、兩實根位于某兩數之間，畫出其圖像如圖3；則有（1）△=b2-4ac≥0，（2）f(k1)>0，（3）f(k2)>0，（4）k1<-b2a

4、常數k1、k2在兩根之間，則有x1k2，如圖4，只須f(k1)<0，f(k2) <0。

5、x1、x2有且僅有一個在k1與k2之間（k10，或f(k1)>0，f(k2)<0，只須f(k1)·f(k2)<0，由上可得如下推論：

推論1，一元二次方程有兩負實根的條件為（1）△=b2-4ac≥0，（2）-b2a，（3）f(0)=c>0，有兩正實根的條件為（1）△=b2-4ac≥0，（2）-b2a>0，（3）f(0)=c>0。

推論2，一元二次方程兩根異號的條件為：b2-4ac>0，f(0)=c>0。

例1，設方程（m2-1）x2+（2m-9）x+2-m2=0的一根大于1，另一根小于1，求m的范圍。

解：由題意有

（1）若m2-1>0 則f(1)<0

（2）若m2-1<0 則f(1)>0

即：（m2-1）·f(1)<0

也就是（m2-1）[m2-1+2m-9+2-m2]<0

解得m<-1或1

因此m的范圍為m<1或1

例2，設方程2x2-4x+m=0的一根在（1，3）內，另一根小于1，求m。

解：方程的條件可分為兩部分：兩根均小于3，且一根大于1，一根小于1。

f(1)<0f(3)>0 即 m+2<0

解得-6

例3，若方程ax2-（a-3）x+（a-3）=0兩根的絕對值均小于1，求a的范圍。

解：兩根絕對值均小于1，即兩根在-1與1之間：

所以af(-1)>0

af(1)>0

-1<-(a-3)2a<1

△=[-（a-3）]2-4a（a-2）≥0

即a>0

a>0

1

-1≤a≤3

所以 2