“數扎根于形”——讓算理不再空洞

2011版《數學課程標準》在課程內容中明確指出：“在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想?！?/p>

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀是通過“幾何”的手段達到“直觀”目的，實現“描述和分析問題”的目標。

運算能力主要是能夠根據法則和運算律正確進行運算的能力，是運算技能與思維能力的有機結合。運算能力的基礎是掌握運算法則和運算律，而掌握運算法則和運算律的關鍵是幫助學生正確理解算理。

在小學數學教學內容中，有相當部分內容是計算問題，計算教學要引導學生正確理解算理，在實際教學中計算法則的教學是一條明線，得到了教師重視。在課改之后，教師在算法多樣化的研究上下了很多工夫，在引導學生對算理的理解上卻如蜻蜓點水，導致學生只知道怎么算，卻不知道為什么要這么算。長此以往，學生就不會去想“為什么”，只知道一些“規定”的計算法則，這樣就抑制了學生思維的發展。

數形結合思想方法是幾何直觀的具體體現，它是通過數和形之間的對應關系和相互轉化解決問題的思想方法。根據小學生以具體形象思維為主要形式逐步向以抽象邏輯思維為主要形式過渡的思維特點，在小學階段的計算算理教學中利用生動形象的圖形使抽象的算理變得形象化；讓學生在學習時不再感到茫然、空洞、枯燥；讓學生在獲得有趣的情感體驗的同時，主動探索感知；讓學生對算理的理解透徹，知其然又知其所以然，真正做到用“計”去“算”。下面就蘇教版六年級上冊“分數乘除法”和四年級下冊“乘法分配律”等幾個案例談談我是如何借助“形”的直觀闡明“抽象”的算理的。

案例1：《分數乘整數》

做一朵綢花要米綢帶。小芳做3朵這樣的綢花，一共要用幾分之幾米綢帶？六年級學生解決這樣的實際問題困難的是×3的結果為什么是？在幫助學生解決這樣的困難時，要求學生先根據題意自己畫一畫。（見下圖）

在經歷了畫圖的過程再次理解題意后，借助圖的直觀，部分學生很快就能根據乘法的意義說出×3表示3個相加，再根據同分母分數加法法則可知：分母不變，分子相加。即3個3相加得9。也有部分學生這樣理解：把這個長方形的長看做1米，把它平均分成10份，其中的3份的長表示米，計算×3需要涂3個，涂色部分的長一共米，這就是分子乘3而分母不能乘3的道理。真是一箭雙雕，借助圖形學生不僅理解了分數乘整數的意義，同時也明白了分數乘整數的算理：為什么整數乘分子，分母不變。

案例2：《整數乘分數》

“小芳做了10朵綢花，其中是紅花，是綠花。紅花、綠花各有多少朵？”

理解“求一個數的幾分之幾是多少，為什么可以用乘法計算”是本節課的難點，教學時我首先引導學生理解題目中“和”的意義，然后借助圖形分一分。

要求“紅花有多少朵”就是要把10朵花平均分成2份，求其中的1份是幾朵？大多學生很容易列出這樣的算式：10÷2×1，少數學生寫成10×，

要求“綠花有多少朵”就是要把10朵花平均分成5份，求其中的2份是幾朵？學生很容易列出這樣的算式：10÷5×2；少數學生寫成10×。

像10÷2×1和10×、10÷5×2和10×這兩個算式之間的聯系，教材沒有充分體現，這就需要教者抓住時機捅破這層窗戶紙，展現10÷2×1=10×1÷2=10×、10÷5×2=10×2÷5=10×這樣的演繹過程，加強這兩個算式之間的聯系后，教師指出：像這樣“求一個數的幾分之幾是多少，可以用乘法計算”。

案例3：《分數乘分數》

×。這是分數乘法單元中學生學習的難點，主要是學生對分數乘分數的含義和算法的理解有一定的困難。為了幫助學生理解“分數乘分數的意義和算法背后的算理”，我是用格子圖去溝通的。具體操作如下：×

師：（出示圖1）你想到了什么分數？

生：涂色部分是整個長方形的。

師：（出示圖2）你又想到了什么？

生：灰色陰影表示的，寫成算式是×。

師：這個乘法算式的結果是多少呢？先在圖上畫一畫再說出結果？

生：延長所有分割點，就是把空白部分也都平均分成5份，就可以看出整個圖形平均分成15（3×5）份，灰色陰影占整個圖形的2份（1×2），×的結果是15份中的2份，即整個圖形的。

學生通過自己動手畫一畫，豐富了感知，同時在畫一畫中體會了分數乘分數的意義，感知積的分母、分子與兩個因數的分母、分子的內在聯系。學生經歷了由具體到抽象的過程，對分數乘分數的算理的理解就更加深刻。

案例4：《分數除以整數 》

升果汁平均分給3個小朋友喝，每人可以喝多少升？

通過畫圖學生可以看出把平均分成3份，就是求的是多少？學生已經掌握了分數乘分數的意義，求的是多少可以用乘法計算：即÷3=×。從而理解分數除以整數的算理：為什么除以一個非零整數等于乘這個整數的倒數。

案例5：《分數除以分數 》

一種水果千克元，平均每千克售價多少元？

審題后學生很快會列出算式÷，因為學生已經有了分數除以整數和整數除以分數的知識基礎。所以在列式后放手讓學生自己計算，學生出現了以下計算方法（只是算法中的一種）：÷=÷3×4。怎么幫助學生理解這一計算過程的道理呢？我引導學生畫出了如下圖形：

借助線段圖追問：÷3 算出了什么？再乘4算的是什么？

學生看圖后能用自己的語言說出：÷3先算出1份的價格，再乘4就是4份的售價。這時再讓學生學習÷=÷3×4=×4÷3=×的演繹過程。借助圖形這個“手杖”，學習由除法轉化成乘法的演繹過程，這樣，學生對分數除以分數算理的理解既深刻又持久。

著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休?！痹谟嬎憬虒W中融入數形結合的形體表象，容易促進學生對算理的理解，使學生的算理、算法的溝通更加深刻，使我們的計算課不再枯燥，我們的孩子收獲的不僅僅是知識和技能，也豐富了他們的數學活動經驗，掌握了數學思想方法。恰如杜甫的《春夜喜雨》：“好雨知時節，當春乃發生。隨風潛入夜，潤物細無聲。”