如何提升學生自主獲取解題思路的水平

在平時的數學教學中，學生經常會遇到一些難題，自己無從下手。在教師分析后學生很容易理解了思路，于是，教師和學生也就釋然了。但是進一步反思，為什么學生總是需要教師的引領才能尋得思路，自己卻很少能夠獨立獲得解決問題的思路？這說明我們的數學教學存在著不足：教師總是和盤托出解決問題的思路，亦步亦趨地引導學生一點一點地發現，教師所關注的僅僅是學生對解題思路的理解，卻沒有將自己獲得思路的方法傳授給學生，沒有提升學生獲取思路的水平。長此以往，學生就總是依賴教師，變得不再思考，不懂思考，不愿思考。數學教學也因此呈現出被動、沉悶、低效的狀況。由此可見，面向學生展現教師獲取思路的過程，將獲取思路的方法傳授給學生，引領學生借助自己的思考來解決問題，逐漸提高學生自主獲取思路的水平成為當務之急。如何才能做到這一點呢？筆者不揣淺陋，以期拋磚引玉。

方法反思：我們是如何獲取思路的？

要把獲取思路的方法傳授給學生，我們首先應該明確自己是如何獲取思路的。但是，有些數學教師遇到難題時，喜歡翻閱答案或者請教他人，而不是從自己的思考出發去尋找思路，這是極不可取的。要學生愛思考，教師本人一定也要愛思考。數學教師首先應該反思的就是我們愛思考嗎？其次再進一步反思：我們是如何在思考中獲取思路的？對于這一點，很多數學教師沒有仔細思考過這個問題，自然難以說清。波利亞在《 怎樣解題 》一書中指出，解題的過程分為四個階段：弄清問題、制訂計劃、實施計劃、回顧。顯然，獲取思路的關鍵在于前兩個階段。

1．理解問題，將已知條件和問題了然于心

教師與學生的區別在于，教師在面對一個新問題時，總是先完全理解它，明確它的已知條件和問題，進而尋求解法。很多學生卻不然，他們往往是粗略地讀一遍題目，還沒有完全了解有哪些已知條件，以及要求的問題是什么，就關閉了自己的思考，簡單的一句“我不會”，就將問題拋給了教師。如何才能將已知條件和問題了然于心，通常可以采取以下幾種做法。

（1）反復閱讀。有些問題信息量較多，或者隱藏的條件較多，反復閱讀可以幫助我們記住已知條件，挖掘出其中的隱藏條件。比如下面這個問題：一次象棋比賽共有10名選手參加，他們分別來自甲、乙、丙3個隊，每名選手都與其余9名選手各賽一局，每局棋的勝者得1分，負者得0分，平局雙方各得0.5分。結果甲隊選手平均得4.5分，乙隊選手平均得3.6分，丙隊選手平均得9分。那么甲、乙、丙3隊比賽的選手各有多少人？上述題目中的信息量很大，只有反復閱讀，才能把比賽規則、記分方法、各組得分情況熟記下來，并在反復閱讀中，感受到“乙隊選手平均得3.6分，丙隊選手平均得9分”這兩個特殊的平均得分，從而找到解決問題的突破口。

（2）整理條件。對于文字表述的問題，初讀一遍很難做到明了。以表格、摘錄條件等方式進行整理，有利于明確已知條件和問題。比如下面這道題目：已知鹽水若干克，第一次加入一定量的水后，鹽水濃度為3%，第二次又加入同樣的水后，鹽水濃度為2%，求第三次加入同樣的水后鹽水的濃度是多少。按照操作的過程進行整理，可以使原來的條件更加有條理，利于對比和思考，如圖1。

（3）畫圖。文字表述具有間接性，在進行數學閱讀時，腦中往往是有表象的，準確地借助圖形把已知條件和問題表示出來，有利于我們理解問題。比如行程問題、分數應用題、和差問題、差倍問題、和倍問題、幾何圖形問題等都要借助圖形幫助自己理解題意。

2．尋求思路，架起已知條件和問題之間的橋梁

解題時，我們往往會運用原有的解題經驗，試圖類推至此，或者對已知條件進行分離和組合，希望從眾多的已知條件中找到解決問題的關鍵條件進行聚焦式的思考，或者將不同的條件進行組合，以期推論出新的條件。當我們在已知條件和問題之間建起了橋梁，我們也就順利地解決了問題。這個過程是復雜的，不可能尋得解決一切問題的萬能解法。但是其間還是有章可循的，有法可依的。在這個尋求思路的過程中，我們通常可以做出以下努力。

（1）調動原有的解題經驗。面對一個新問題，我們往往會進行辨認，很自然的就會和原先熟悉的情景和問題進行溝通，然后動員和組織原有的知識儲備和解題經驗，試圖用自己掌握的思路去解決它。因此，獲得良好的解題思路，必然需要良好的知識儲備和豐富的解題經驗。什么樣的解題經驗更利于我們動員和調動？教師與學生相比，除知識經驗的多寡外，更重要的區別在于：教師的數學知識形成了良好的組織，能夠融會貫通，而學生往往難以把握不同知識之間內在的聯系。由此可見，良好的解題經驗是獲取解題思路的基礎性條件。

（2）一般問題特殊化。例如下面這道題目：如圖2所示，在腰長為10厘米、面積為34平方厘米的等腰三角形底邊上任意取一點，設這個點到兩腰線段的垂直線段的長分別為a厘米和b厘米，那么a+b的長度之和是多少厘米？因為是底邊上的任意一點，學生往往感覺無法捉摸。教師在教學時不妨故意降低要求：“你覺得這一點點在什么地方你會解決，你就把點點在哪里。”學生通常會把點點在底角頂點（如圖3）或者是底邊中點（如圖4）。①點在底角頂點，學生很容易求出a的長度：34×2÷10=6.8（厘米），a+b=6.8+0= 6.8（厘米）。②點在底邊中點，可以連接等腰三角形的頂點和底邊中點。分別求出a和b的長度：34÷2=17（厘米），17×2÷10=3.4（厘米），3.4+3.4=6.8（厘米）。③有了上述兩個特殊情況的解法，學生就很容易猜測出在一般情況下，a+b=6.8（厘米）。同時也會受圖4的啟發，連接圖2中等腰三角形的頂點和底邊上的哪一個任意點。進而列出10a÷2+10b÷2=34（厘米），進而推出5a+5b=34（厘米），a+b=34÷5=6.8（厘米）。

（3）合情推理。解題思路的獲得并不是純邏輯的，離不開嘗試、猜想、驗證、歸納等不完全可靠的方法。這個過程需要解題者具有較好的元認知能力：時刻明確目標在哪里？自己在哪里？自己選擇的路徑是否可靠？同時也需要解題者具有較好的調整能力。遇到困難時，能夠及時調整方向，能夠從自己的錯誤中尋求有益成分，而不是全盤否定，這樣才能在不斷的嘗試、調整、驗證中獲得思路。比如算式問題、數陣問題中就存在著大量這樣的問題。以下面這個問題為例，我們來看一看合情推理中的思維活動：將1~8分別填入下圖5中的4個圓以及相互交叉所形成的區域內，使每個圓內的3個數字之和相等，并且使這個和盡可能的小。

讀完題目，我們并不是一下子就能想到完美的思路。探究過程通常會經歷下面兩個階段：①調動經驗進行嘗試。由于8個空格分為兩類：交叉處和外圍。因此把1~8分成兩組，4個數填在交叉處，4個數填在外圍。先選擇4個較小的數1、2、3、4填在交叉處（如上圖6、圖7），4個較大的數在外圍進行嘗試，但是無論如何也不能使4個圈內3個數的和都相等。②反思失敗原因調整思路。錯誤并非完全沒有價值，其中往往蘊含著通往正確思路的有益成分。仔細分析錯誤的過程，我們會發現，中間4個數，有大小搭配和依次排列兩類填法（如上圖6、圖7）。第一類，1+4=2+3，找不到相同的數來搭配。第二類，圓內已知兩個數的和分別是3、4、6、7，沒有連續性。而剩下的4個數5、6、7、8卻是連續的，因此無法搭配成功，只能使4個圈內的和分別是11、11、12、12。從第二種錯誤中，我們能夠得出4個圈的總和是46，不是4的倍數。由此聯想到，要想填出正確的結果，就要增加四4個圈的總和，也就是讓中間4個數的和增加2，改為1、2、3、6。然后再進行嘗試，很容易得到正確的填法（如上圖8）。探究思路的過程并不全是邏輯，離不開經驗的運用、反思、調整和靈感般的頓悟。而學生最不擅長的在于反思和調整，他們往往在失敗后全盤否定原來的想法，再一次回到起點沿著另一條路走下去，他們也因此與正確思路失之交臂。

（4）從笨方法入手。思路，在學生那里，往往被潛意識地理解為最佳路徑。因此，他們看出來了笨方法，自己也會不屑使用。殊不知，很多時候好的思路就是從所謂的笨方法中發現出來的。他們不愿意使用笨方法的根本原因，其實是害怕麻煩，投機取巧的心理在作祟。蘇教版教材編排的一個亮點是解決問題的策略，一一列舉的策略、畫圖策略和假設策略分別安排在四年級下冊、五年級的上冊和六年級的上冊。實際上也存在著笨方法和巧妙思路的關系。比如，六年級上冊用假設法解決問題的例題如下：

例：全班42人去公園劃船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有幾只？

教材就是先利用畫圖策略和一一列舉的策略，來幫助學生提煉假設策略的，見圖9、圖10。

畫圖和一一列舉對學生來說是笨方法，但是學生在一一列舉的過程中，能夠體會到將一只小船調整成一只大船就可以多坐2人（反之少坐2人）。理解了這一點，也就很容易理解假設法的思路：比如假設租的10條船全是小船，一共可以坐10×3=30（人），比總數42人少了42－30=12（人），一只小船調整成一只大船就可以多坐2人，因此一共要租12÷2=6只大船，10－6=4只小船。使用笨方法的過程，是在獲取感性經驗，感性經驗充分了，自然會升華、抽象，不止步于笨方法，對笨方法進行反思，巧妙的方法也就出來了。因此，我們要正確地看待笨方法，一味地找快捷方式往往是沒有出路的，多畫圖、多嘗試、多列舉，從已有的笨方法出發，巧妙思路才會不期而至。

教法探尋：如何提升學生自主獲取思路的水平？

當我們清晰地認識到自己獲取思路的過程和方法后，接下來該思考的就是如何將獲取思路的方法傳授給學生，從而提升學生自主獲取思路的水平？需要強調的是，這里所說的傳授，是在平時教學過程中有意識地進行滲透，努力讓學生感受、理解并逐漸掌握這些方法。在實踐和思考中，我認為以下幾點非常重要。

1．優化教學，幫助學生建立良好的知識結構

基礎知識和基本技能掌握得越牢固，越容易幫助解題者尋找到解題思路。學生已有的知識和經驗的多少與質量對于學生來說，是他們面對新問題時能否獲取解題思路的基礎性要素。同一年級的學生所接觸的知識范圍是差不多的，但質量上卻存在顯著差異。因此，我們要從源頭抓起，幫助學生建立良好的知識結構。建立良好的知識結構，不在多練，而在多得；不在多得，而在融通。我們可以從兩個方面去努力：一方面，每一個新知識的教學要達到深入、深刻。淡化量強化質，爭取在教學過程中給予學生多方面的體驗、理解和認識。不僅讓學生理解是什么、怎么做，還要讓學生理解為什么。放棄在簡單模仿中熟悉認知，熟練技能，注重在思辨中深化理解，生成技能。能夠把握知識和技能的本質意義，實現多得。另一方面，在教學中還要注重不同知識點之間的對比、溝通、聯系。只有將知識融入結構，只有打通結構的關節，讓其實現通融，才是良好的知識結構。同類知識進行溝通，將它們進行打包貯存；異類知識進行對比，把握二者的根本區別；不同領域的知識進行聯系，實現相互貫通。總之，我們要力求學生把握本質，建立體系。

2．給學生一個完整的展現——和學生站在同樣的起點解決問題

精心備課是為了教學的高效。事物總具有雙面性。我們總是精心預設，站在已知的高度以“回首來時路”的狀態與“摸索著前行”的學生交流，實際上是一種不對等的交流。教師從來沒有在“不備課”的狀態下與學生進行過交流，從來沒有給學生完整展現過自己是如何獲取解題思路的，學生自然難以學會自主獲取解題思路的方法，這是數學教學的重要缺失。我們在備課時不必太滿，不妨“留白”，故意將拓展題、思考題放在最后，不提前去看，上課時和學生一起思考。這樣，我們和學生站在同樣的起跑線，去尋找解決問題的思路，學生才能見到一個真實的完整的探究思路的過程。當然，這需要教學勇氣，因為不提前“備題”，我們真不敢確定自己就能找到思路，更不敢確定比所有學生都先找到，更重要的還在于我們給學生呈現了一個并不高明的自己。但正是因為我們真實完整的展現，學生才見到了我們在思考時的努力、失敗、嘗試、調整、猜測、疏忽，這樣他們學會的才不僅僅是思路，還有努力、堅持，以及在這個過程中教師所展現出來的各種為獲取解題思路而使用的方法。當然需要指出的是，做教師的另一樣基本功還在于，即便我們提前“備了題”，知道了思路，我們依然能夠站在一個未知者的角度和學生一起去探究思路。

3．從學生的思考出發——帶著半路拋錨的學生走向終點

要使學生掌握獲取思路的方法，只有通過學生的自主探究，讓他們在自主尋找思路的過程中學會獲取思路的方法。教學中遇到最多的問題是：很多時候，學生有一點思路，卻不能沿著自己的思路走到底。以至于他們會喪失自主獲取思路的信心，漸漸地養成將難題推給教師的習慣，這樣的狀況是不利于學生自己掌握獲取思路的經驗和方法的。更好的做法是，教師沿著學生的思考出發，帶著半路拋錨的學生走向終點。這樣學生就能感受到自己思考的價值，體驗到思考的力量，從而提升解題的信心，積累到獲取解題思路的經驗。比如解決下面這個問題。按照下面的規律排列：1、2、5、10、17……左起第100個數是多少？很多學生通過觀察，能夠發現相鄰兩個數的差都是單數并且越來越大，但是按照這樣的規律算下去，又太麻煩。教師就可以從學生的發現出發，引導學生：“同學們都發現了相鄰兩數之間差的規律，用你們發現的規律來看，將原來的每個數改寫成算式，分別可以怎樣寫？”在教師的引導下，學生分別寫出：2=1+1，5=1+1+3，10=1+1+3+5，17=1+1+3+5+7，進而找到左起第100個數的計算方法：1+1+3+5+7+…+197，并運用等差數列求和的公式進行解決。在這個案例中，我們可以發現，學生能夠找到一些規律，但所找的規律并不利于問題的解決，教師不失時機地在學生發現規律的基礎上，對學生進行公式化思想的滲透，有利于幫助學生積累解決問題的經驗，學會對原有思路進行調整，從而解決問題。

4．回顧來時路——幫助學生積累獲取解題思路的經驗和方法

在大多數情況下，探究思路的過程是摸著石頭過河，它帶給學生的只是一些感性的、模糊的、零散的認識，獲取思路的經驗和能力并沒有在“獲取”的過程中獲得充分的提高。因此，教師要引領學生在解決完問題之后，對獲取思路的過程進行反思，這樣才能幫助學生積累一些獲取思路的經驗和方法，從而提高學生獲取思路的水平。可以從下幾個方面入手。

（1）刪繁就簡，幫助學生形成整合優化的思路。小學生的思維往往是具體的、瑣碎的，注意力分配還不夠成熟，在解決問題的過程中很難兼顧“解題的整體思路”和“具體的解題步驟”，不能很好地把握部分和整體之間的關系。因此，教師就有必要在學生解決問題之后，對繁瑣的思路進行整體審視，幫助學生形成整合優化的思路。

（2）由表及里，提升學生的思維水平。很多時候，即便學生理解了思路，往往也不夠深入，只是記住了解題的步驟。教師可以針對這些步驟，進一步進行深入的追問：我們是如何想到要先這樣算的？這樣做對解決問題有什么好處？在這樣的追問下，學生的思維就會從具體的算式深入到探究思路時所作的思維活動中去，從而能夠逐步提高他們的思維水平。

（3）舉一反三，形成獲取思路的方法。解決問題的教學不能僅僅停留在技法的層面，僅僅教會學生怎樣做“這一題”是遠遠不夠的，要由此及彼，借助“這一題”的解決引出更多問題，教師多進行舉一反三，引出同一思路解決的相關問題，使學生能夠“舉三反一”，在運用同樣方法解決問題的過程中，體會到獲取思路的策略，形成獲取思路的方法，逐步提升自己的數學素養。

綜上所述，要提升學生獲取思路的水平，需要數學教師本人掌握一些數學方法論的知識，提升自己的方法論素養，并以此為指導來審視自己的課堂，優化平時的教學，有意識地滲透獲取思路的方法，關注學生的體驗和思考，才能逐步提升學生獲取思路的水平。

（作者單位：徐州市銅山新區實驗小學，江蘇 徐州，221116）