對(duì)規(guī)律教學(xué)的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)和理解

數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)，尋找和發(fā)現(xiàn)周?chē)澜缡挛镏g的關(guān)系以及事物的變化規(guī)律構(gòu)成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。同時(shí)，發(fā)現(xiàn)關(guān)系和規(guī)律的過(guò)程是發(fā)展學(xué)生探索能力的過(guò)程，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的過(guò)程，也是得到新成果、應(yīng)用新成果的過(guò)程。“探索規(guī)律”作為新課程中獨(dú)立的內(nèi)容，其目的是加強(qiáng)這方面教學(xué)的力度。其實(shí)探求規(guī)律的教學(xué)不僅僅包括這部分獨(dú)立的內(nèi)容，還包括公式、性質(zhì)、定理的發(fā)現(xiàn)、證明、應(yīng)用等。可以說(shuō)規(guī)律的教學(xué)滲透到了數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程之中。下面就結(jié)合具體的案例，談?wù)勔?guī)律教學(xué)的幾點(diǎn)粗淺的認(rèn)識(shí)和理解。

一、數(shù)學(xué)規(guī)律就發(fā)生在我們身邊

在一些人眼里，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)那些干燥的計(jì)算、公式、法則、證明，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的只有一個(gè)，那就是因?yàn)榭荚囆枰紨?shù)學(xué)。數(shù)學(xué)好像是海市蜃樓，只能看見(jiàn)，卻不能去摸到，不能體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的存在，也不覺(jué)得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么特別的意義。而教師應(yīng)該通過(guò)規(guī)律的教學(xué)改變這些觀念。請(qǐng)大家看下面幾個(gè)找規(guī)律的問(wèn)題。

案例1：聯(lián)歡會(huì)上，小明按照3個(gè)紅氣球、2個(gè)黃氣球、1個(gè)綠氣球的順序把氣球串起來(lái)裝飾教室。你知道第16個(gè)氣球是什么顏色嗎？

案例2：蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《找規(guī)律》 2頂帽子和3個(gè)木偶娃娃，一共有多少種選配方法?

案例3：北師大數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)《探索規(guī)律》

（1）觀察日歷圖，圖中四個(gè)數(shù)之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（2）這個(gè)關(guān)系對(duì)其他這樣的方框成立嗎？你能用代數(shù)式表示這些關(guān)系嗎？

（3）這些關(guān)系對(duì)任何一個(gè)月的日歷都成立嗎？為什么？

這些情境是學(xué)生熟悉的，有的甚至自己親身經(jīng)歷過(guò)，只不過(guò)當(dāng)時(shí)沒(méi)能發(fā)現(xiàn)它的規(guī)律。即使發(fā)現(xiàn)了，也沒(méi)有把規(guī)律和數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)。所以教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)努力創(chuàng)設(shè)源于學(xué)生生活的現(xiàn)實(shí)情境，因?yàn)楹玫摹艾F(xiàn)實(shí)情境”是學(xué)生熟悉的、經(jīng)歷的，這樣有利于激發(fā)學(xué)生探求規(guī)律的興趣，鼓勵(lì)學(xué)生思考、參與，利用已有生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)解決它。

在規(guī)律教學(xué)中除了好的“現(xiàn)實(shí)情境”之外，我們可以設(shè)計(jì)一些“數(shù)學(xué)情境”和“游戲情境”，它同樣也會(huì)讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)規(guī)律就在我們身邊。

案例4：利用計(jì)算器計(jì)算15×15，25×25，…，95×95，并探索計(jì)算規(guī)律。

案例5: 在學(xué)習(xí)了小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)引起小數(shù)大小變化的規(guī)律后，小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)引起小數(shù)大小變化的規(guī)律自然就會(huì)成為我們要討論的問(wèn)題。

案例6：角谷猜想

請(qǐng)你任意想一個(gè)自然數(shù)，如果它是偶數(shù)，就除以2；如果它奇數(shù)，就將它乘以3再加l。一直按這一規(guī)則算下去，奇跡出現(xiàn)了。結(jié)果總是4→2→1→4→2→1循環(huán)。例如 58：58→29→88→44→22→1l→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→l→4→2→1…經(jīng)過(guò)19次計(jì)算，最終到1，以后4、2、1循環(huán)。

這個(gè)數(shù)字游戲，所得規(guī)則如此簡(jiǎn)單，規(guī)律又是如此奇妙，讓人有一種沖動(dòng)，我能不能設(shè)計(jì)另外的規(guī)則，也得到一個(gè)神奇的規(guī)律。

二、規(guī)律的得出應(yīng)該更加自然，水到渠成

我們需要對(duì)發(fā)生在我們身邊的規(guī)律進(jìn)行總結(jié)，但怎樣才能做到自然，水到渠成呢?這應(yīng)該是我們教學(xué)的重點(diǎn)，因?yàn)檎莆仗角笠?guī)律的方法，比發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用規(guī)律更為重要。因此在進(jìn)行這方面的教學(xué)時(shí)，可以考慮把以下幾點(diǎn)作為順利得出規(guī)律的切入點(diǎn)。

1.規(guī)律得出應(yīng)利用好數(shù)學(xué)表征

表征是指用每種形式表達(dá)數(shù)學(xué)概念或關(guān)系的行為，在幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)和探求規(guī)律起著十分重要的作用。

案例7：根據(jù)下圖找規(guī)律

像這樣的表征給了教師很好的機(jī)會(huì)促使學(xué)生積極思考以及如何準(zhǔn)確的描述其中所隱藏的規(guī)律。低年級(jí)的學(xué)生推導(dǎo)出1，3，5，7，…，下一個(gè)數(shù)是什么？高年級(jí)學(xué)生可能得到這樣的規(guī)律：“如果前n個(gè)奇數(shù)加起來(lái)，和等于n×n。”

2.規(guī)律得出就是數(shù)學(xué)求簡(jiǎn)的過(guò)程

求簡(jiǎn)，就是追求簡(jiǎn)單的過(guò)程.這種過(guò)程是一種對(duì)美的追求，更是一種精神。這種精神在規(guī)律教學(xué)中體現(xiàn)得特別明顯。

案例8: 蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《找規(guī)律》 在尋找2頂帽子和3個(gè)木偶娃娃一共有多少種選配方法，在既不重復(fù)又不遺漏的條件下連線后，帽子的頂數(shù)與木偶的個(gè)數(shù)和有多少種選配方法是一種什么關(guān)系呢？根據(jù)“表示幾個(gè)相同加數(shù)的和，用乘法”的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出規(guī)律：2×3=6 或3×2=6。

數(shù)學(xué)家始終追求最簡(jiǎn)單的解題方法，正因?yàn)樽非笞詈?jiǎn)單的解題方法，所以當(dāng)我們?cè)诎咐?中，如果我們把問(wèn)題該為：你知道第160個(gè)氣球是什么顏色嗎？我們就不能再用A表示紅氣球，B表示黃氣球，C表示綠氣球，則按照題意可以寫(xiě)成：AAABBCAAABBC…，看看第160個(gè)氣球是什么顏色。因?yàn)檫@種方法太繁了，我們必須根據(jù)氣球的排列規(guī)律，尋找簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)方法---帶余除法。這里的選配問(wèn)題與度量長(zhǎng)方形的面積其實(shí)都是倍數(shù)問(wèn)題，倍數(shù)問(wèn)題當(dāng)然用乘法來(lái)得簡(jiǎn)單。我們所學(xué)的規(guī)律也基本上體現(xiàn)了這種求簡(jiǎn)思想。

3.規(guī)律得出應(yīng)建立在數(shù)學(xué)歸納的基礎(chǔ)上

愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：我們的科學(xué)能夠得到現(xiàn)在這么大的發(fā)展，得益于兩件事情。一件事情就是古希臘人創(chuàng)造的演繹，還有一件事情是因果關(guān)系的探討，實(shí)質(zhì)說(shuō)的是歸納的思想。歸納思想需要通過(guò)演繹來(lái)證明是不是對(duì)，無(wú)論如何，歸納思想可以用于發(fā)現(xiàn)新的結(jié)果。這是史寧中教授在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂工作介紹中一段話，他指出歸納的重要性。同樣規(guī)律得出也需要?dú)w納。

案例9：蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《找規(guī)律》請(qǐng)學(xué)生完成下面的表格

小學(xué)生很快地就能借助表格的直觀性，通過(guò)“ 歸納” 的方法得出的規(guī)律：兩端的物體比中間的物體多1或中間的物體比兩端的物體少1 ，其中重要原因之一就在于“ 歸納”這一方法本身就是學(xué)生基本生活經(jīng)驗(yàn)的延伸，給人一種“水到渠成”的感覺(jué)。

許多研究表明學(xué)生能夠在實(shí)例的基礎(chǔ)上才能找出規(guī)律，而且只舉一個(gè)例子是不夠的。在規(guī)律教學(xué)過(guò)程中，有些教材或教學(xué)設(shè)計(jì)只舉了一個(gè)具體的例子，就讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，我覺(jué)這樣有點(diǎn)難為我們的學(xué)生。

三、數(shù)學(xué)規(guī)律是需要加以證明的

教師可以鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)或推理來(lái)驗(yàn)證自己所得的規(guī)律。雖然我們知道大多數(shù)學(xué)生除了通過(guò)實(shí)例以外，要證明自己得到規(guī)律的正確性是非常困難的。但為什么我們要強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)呢？因?yàn)閺木唧w實(shí)例歸納出的數(shù)學(xué)結(jié)論不一定對(duì)，如果要說(shuō)明它對(duì)就必須給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。前面的角谷猜想雖然人們經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，在109951162776之內(nèi)的數(shù)，按上面規(guī)則計(jì)算都是正確的，但卻未能對(duì)此作出數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格證明，因此只能稱(chēng)它是一個(gè)猜想。當(dāng)然我們應(yīng)該會(huì)根據(jù)學(xué)生的年齡特征提出不同程度的要求，但我們應(yīng)該讓學(xué)生有這種驗(yàn)證和證明的意識(shí)，至少有些規(guī)律能找到自己認(rèn)為合理的理由解釋它。

案例10：用36塊方磚（邊長(zhǎng)為10cm正方形）拼擺出長(zhǎng)方形圖形。要求必須用上所有的36塊磚。數(shù)出并記錄每一個(gè)長(zhǎng)方形的面積和周長(zhǎng)，然后找一找并描述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

學(xué)生們得到下面的表格后，得到這樣的規(guī)律：“瘦長(zhǎng)”的長(zhǎng)方 形的周長(zhǎng)最大，“胖”長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)最小。

當(dāng)老師要求學(xué)生解釋原因時(shí)，他們說(shuō)，瘦長(zhǎng)的長(zhǎng)方形中，有些磚的一些邊在外面，把瘦長(zhǎng)的長(zhǎng)方形變胖以后，原來(lái)的一些邊就到了里面了，這樣周長(zhǎng)就變小了。學(xué)生的理由讓我們感覺(jué)怪怪的，因?yàn)槲覀兊睦碛墒牵喝绻麅蓚€(gè)正數(shù) ， 等于定值，那么當(dāng) ， 有最小值。如果能認(rèn)真聆聽(tīng)學(xué)生的理由，我們就能夠理解學(xué)生的思路，懂得學(xué)生理由的正確性。我們可以經(jīng)常問(wèn)學(xué)生“你怎么知道這是對(duì)的？”并為學(xué)生做好示范，逐步培養(yǎng)學(xué)生驗(yàn)證或證明規(guī)律正確的能力，而不是僅僅依賴(lài)權(quán)威。

四、數(shù)學(xué)規(guī)律就是一種模型，是解決問(wèn)題的好工具

當(dāng)規(guī)律被發(fā)現(xiàn)以后，人們就會(huì)用數(shù)、圖形或符號(hào)表達(dá)出來(lái)，形成數(shù)學(xué)模型。并且應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。遇到類(lèi)似案例1的問(wèn)題，學(xué)生自然用帶余除法這個(gè)數(shù)學(xué)模型，遇到類(lèi)似案例8的選配問(wèn)題，就用乘法這個(gè)模型。遇到計(jì)算35×12+35×88時(shí)，想到的是乘法分配律。又比如我們知道平行四邊形的面積計(jì)算規(guī)律后，當(dāng)再求梯形面積時(shí)，通過(guò)把兩個(gè)完全相同的梯形拼成一個(gè)平行四邊形，我們又可以得到一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型——梯形面積的計(jì)算公式。蘇教版四年級(jí)（下）《找規(guī)律》中，想想做做第一題，問(wèn)從學(xué)校到少年宮一共有幾條路線可以走，學(xué)校到少年宮的路其實(shí)就是學(xué)校到街心花園的一條路與街心花園到少年宮的一條路的選配，學(xué)生在理解規(guī)律的基礎(chǔ)上，自然就很快得到結(jié)果。有時(shí)我們還可以把原來(lái)數(shù)學(xué)規(guī)律的條件和結(jié)論互換，可能有時(shí)又找到另外的數(shù)學(xué)規(guī)律。如：直角三角形的三邊滿足，如果把條件和結(jié)論互換，三角形的三邊滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？我們又得到一種判別三角形是否是直角三角形的模型。隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的深入，他們會(huì)接觸到更多的數(shù)學(xué)模型，有幾何模型、有代數(shù)模型、有概率模型等。

可以說(shuō)數(shù)學(xué)模型的豐富性、多面性和它們?cè)趹?yīng)用中不可思議的有效性讓人感到驚訝。但我們必須根據(jù)學(xué)生的發(fā)展特點(diǎn)用好它。選配問(wèn)題它其實(shí)就是高中乘法原理在小學(xué)階段的滲透，書(shū)上的例題和習(xí)題都可以用乘法原理來(lái)解決，但如果我們的老師用乘法原理來(lái)講解從學(xué)校到少年宮一共有幾條路線這個(gè)問(wèn)題，我認(rèn)為這樣的要求太高了，我覺(jué)得還是用選配或搭配的觀念比較好。

五、讓學(xué)生意識(shí)到人類(lèi)也是這樣發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用規(guī)律的

在教學(xué)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律時(shí)，我們采用的方法（從幾個(gè)具體實(shí)例歸納出一個(gè)規(guī)律，然后想盡所有辦法證明它是對(duì)的，然后在利用規(guī)律解決數(shù)學(xué)問(wèn)題）到底有什么用？對(duì)人的發(fā)展有什么影響？許多人一直在思考這個(gè)問(wèn)題。作為數(shù)學(xué)教育工作者，我們一定要堅(jiān)信學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有用的，它讓我們掌握了發(fā)現(xiàn)新的結(jié)果和新結(jié)論的方法。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是用的還有一個(gè)理由，也是最重要的一個(gè)理由：人類(lèi)認(rèn)識(shí)規(guī)律，利用規(guī)律的過(guò)程就和PH我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的過(guò)程是一致的。非常典型的例子就是石蕊試液和PH試紙的誕生過(guò)程。

（偶然發(fā)生的現(xiàn)象）波義耳偶然發(fā)現(xiàn)艷麗的紫羅蘭遇到稀鹽酸變成了紅色，這一現(xiàn)象引起了彼義耳的極大興趣。（歸納的過(guò)程）后來(lái)他把硫酸、硝酸等各種酸分別倒入一個(gè)燒瓶，再加水稀釋?zhuān)缓蟀氧r花依次放人每個(gè)燒瓶中。結(jié)果，每朵深紫色的花都發(fā)生了這樣的變化：一會(huì)兒就全變成了紅色。（得出規(guī)律）波義耳由此得出這樣的結(jié)論：所有的酸都能使紫色的花變紅；（規(guī)律的另一面）反之，可用紫色的花來(lái)判斷某種液體是否屬于酸性。波義耳又做了許多實(shí)驗(yàn)，他發(fā)現(xiàn)許多植物的浸液遇到酸或堿都改變了顏色。（得到一個(gè)萬(wàn)能的簡(jiǎn)單方法）最有意思的是石蕊，酸能使它的紫色浸液變紅，堿又可以使它變藍(lán)。于是，簡(jiǎn)便地測(cè)定溶液的酸堿性的石蕊試液和PH試紙就誕生，直到幾百年后的今天，石蕊試液和PH試紙仍在廣泛地應(yīng)用著。

數(shù)學(xué)在學(xué)生終身發(fā)展過(guò)程中有不可替代的作用。通過(guò)數(shù)學(xué)規(guī)律的學(xué)習(xí)，可以構(gòu)建學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的終身發(fā)展。因?yàn)榭v然學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)都忘記了，但數(shù)學(xué)的精神、思想和方法卻會(huì)深深地銘刻在頭腦中，長(zhǎng)久地活躍于日常生活和工作中，隨時(shí)隨地、潛移默化地發(fā)生作用，使學(xué)生受益終身。#9834;