大膽猜想 嚴謹求證

教學片段：

數學課上，教師出示這樣一道題：一個長方形長是12厘米，從中剪去一個最大的正方形，剩下長方形的周長是多少？

生1：這題沒法解答，因為沒有告訴寬啊？

師反問：真的沒法解答嗎？

學生紛紛拿出紙張開始畫圖，尋找解題的辦法。

生2：我是采用假設數據的辦法解答的，假設長方形的寬是11厘米，剪去一個最大的正方形后（如圖1所示），剩下長方形的長為11厘米，寬為：12-11=1（厘米），陰影部分的周長：（11+1）×2=24（厘米）。

生3：我也是采用假設數據辦法進行解答的。不同的是，我假設的寬是10厘米，剩下長方形的長就是原來的寬是10厘米，新的寬等于12-10=2（厘米），長方形的周長：（10+2）×2=24（厘米）。

生4：我也是采用假設的辦法解決問題的，經過計算發現：寬只要是小于12厘米的任何一個數據，經過計算剩下長方形的周長都是24厘米，是不變的。

生5：我發現，從長方形中剪下一個最大的正方形后，剩下長方形的周長等于原來長方形長的2倍。

師追問：這位同學很善于觀察和猜想，但是僅僅靠幾個例子就得到結論是否合理呢，結論是否正確呢？如果不假設數據，是否也能計算出長方形的周長？

學生經歷思考和實驗操作后，開始發表自己的見解。

生5：我把寬的長度用字母x表示（如圖2所示），剪去最大正方形后剩下長方形的長就是原來的寬x厘米，新的寬為(12-x)厘米，長方形的周長等于（12-x+x）×2，加x和減去x可以互相抵消，所以最后的結果為12×2=24（厘米），這里用字母x來表示長方形的寬，可以把寬的各種不同的情況全部包括。

師：如果寬不用數值或者字母來表示，你能否根據圖形之間的關系得到陰影部分的周長？

學生再次進入思考的狀態，在自己的本子上點點畫畫。

生6：(如圖3所示)在長方形ABDE中，剪去一個最大的正方形，剩下是一個長方形CDEF，長方形CDEF的周長=（CF+FE）×2。因為ABCF是正方形，四條邊相等，所以CF=AF，可以推出CF+FE=AF+FE，而AF+FE=AE，也就是原來長方形的長為12厘米，所以陰影部分的周長是12×2=24（厘米）。

大家被他嚴謹的論證和周密的推理所折服，教室中爆發出熱烈的掌聲。

生7：剛才這位同學的說理十分清楚，我們無需假設長方形寬的數據，經過CF=AF的數量替換，就能發現剩下的長方形的周長等于原來長方形的長的2倍。這種方法真巧妙！

師：同學們做這一題時都是采用畫圖的方法來呈現條件和問題，把復雜的問題簡單化了，大部分同學采用假設長方形寬為具體的數值進行操作后計算得到長方形的周長，有的同學結合自己的觀察大膽地提出了自己的猜想。為了驗證猜想是否正確，有的同學還用了字母來表示寬，經過演算后得到長方形的周長，更有同學根據正方形的特征，推理得到長方形的周長，驗證我們的猜想，經歷了類似數學家發現問題、提出問題、解決問題、驗證問題的歷程，老師已經聽到了同學們思維拔節生長的聲音！真為你們感到高興！

【反思】

對學生而言，純文字形式呈現的問題相對比較抽象，僅憑文字敘述有時很難直接看出題中的數量關系，所以才有了學生質疑：“沒告訴寬，沒法解答?！薄读x務教育數學課程標準(2011年)》（以下簡稱《課標》）明確指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。所以有相當一部分學生經過思考后借助圖形來表征數學事實，進而把復雜的數學問題變得簡明、形象，有利于學生洞察數學對象的結構和關系，便于學生借助幾何直觀進行分析和想象，展開豐富多彩的直觀推理。

學生個性化的解決問題的方法彰顯了思維的獨特性與獨立性。第一種通過畫圖后假設長方形中寬的具體數值，來計算裁剪之后長方形的周長，采用列舉不同數據的方法進行計算，這也是學生常用的方法。學生通過思考發現雖然列舉數據不同，但最后的結果相同，變與不變的函數思想悄然間在學生心中綻放。同時進一步思考提出了“從長方形中剪下一個最大的正方形后，剩下長方形的周長等于原來長方形長的2倍”這一猜想，但是教師指出：僅僅通過一組數據或者幾組數據得到的結論是只能屬于猜想階段，是屬于不完全歸納法得到的結論，是否具有普遍性還有待于檢驗。教師指明了問題所在以及驗證的方向。我們欣喜地看到學生基于數學現象觀察、提出自己的問題、提出自己的猜想，合情推理的種子開始萌芽。

為了證明自己猜想的正確性，在這樣的問題驅動下，學生為了能夠把寬為各種不同的數值情況全部囊括，自然而然想到了“用符號表示具體情境中的數量關系和變化規律，并用符號進行了運算和推理”。學生用字母x來表示寬，經過運算，也能得到長方形的周長。符號x把寬的所有情況涵蓋，彰顯了字母豐富的內涵，使學生深刻地體會到符號的簡明性和一般性，發展了學生的符號意識和抽象能力，使得學生從算數思想走向代數思想，數學建模的思想得到了很好的滲透。

最后一種方法，學生不自覺使用演繹推理的方法，根據圖形的特征以及圖形之間的關系，經過等量代換得到長方形的周長，從而使通過不完全歸納法獲得的猜想得到了驗證，使其更具有普遍意義，顯示推理的力量和數學理性的魅力。學生遵循邏輯順序分析問題，并能根據充足的依據（正方形四條邊相等）進行推斷，內部的思維條理性通過外部數學語言的表述呈現了出來，數學語言表達能力得到了錘煉。同樣，學生在推理過程中，能夠使用準確的數學語言表述推理的過程、概括推理的結果，對于發展學生的思維的嚴謹性、深刻性和條理性大有裨益。

《課標》明確提出：在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果。因此在日常的數學活動中，教師要有意識地讓學生基于一定的觀察，憑借經驗和直覺，大膽猜測某種數學結論或者規律，進行著“從特殊到一般的推理”即發展學生的合情推理能力，當然推理的結果具有偶然性和或然性，這就需要我們教師要引導學生通過具體的驗證活動，引導學生進行“從一般到特殊的推理”，即開展演繹推理，利用已有的事實和確定的規則，進行著“數學化”驗證和計算，確保數學的嚴謹和準確。讓學生感受數學理性的精神、美感和力量。大膽猜想是合情推理的根，嚴謹求證是演繹推理的魂，在數學課上把兩種推理巧妙地結合起來，讓學生學會數學地思考與表達。最終使得學生數學的學習過程成為猜想之旅、發現之旅、驗證之旅，提高學生的創新意識和能力。

(作者單位：江蘇省徐州市賈汪區實驗小學 責任編輯：王彬)