感受建模過(guò)程 體悟建模思想

我國(guó)傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)注重基于題型分類的教學(xué)，在這種教學(xué)思想和模式的主導(dǎo)下，問(wèn)題或問(wèn)題情境呈現(xiàn)出良構(gòu)特征，即：已知條件、未知條件明確，數(shù)據(jù)匹配，只要將已知條件運(yùn)用好就能解決問(wèn)題；運(yùn)用已經(jīng)具備的概念、規(guī)則、方法和原理，就能解決問(wèn)題；解決問(wèn)題的途徑比較明確，結(jié)果比較確定。當(dāng)問(wèn)題呈現(xiàn)出良構(gòu)特征時(shí)，學(xué)生只要用好“已有的條件”，找到“已會(huì)的知識(shí)或方法”，就能解決問(wèn)題。這種教學(xué)對(duì)學(xué)生的思維定向有著明顯的促進(jìn)作用，但對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展不利。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》首次將基于建構(gòu)理論的模型思想寫(xiě)入課程標(biāo)準(zhǔn)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年）》在“課程內(nèi)容”部分明確提出“模型思想”，并具體闡述為“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義”，同時(shí)指出要讓學(xué)生“初步形成模型思想”。但是，多數(shù)教師缺乏建模教學(xué)的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，在教學(xué)中“打著建模的旗幟，行著解題的實(shí)質(zhì)”。本文將結(jié)合建模過(guò)程中的三個(gè)主要步驟，即解讀問(wèn)題情境（模型準(zhǔn)備）、提煉關(guān)系和規(guī)律（模型建構(gòu)）、解決問(wèn)題（模型應(yīng)用），談一談教學(xué)實(shí)踐及思考。

一、模型準(zhǔn)備：提供有效背景，提升學(xué)生的信息處理能力

基于傳統(tǒng)題型的教學(xué)和基于模型的教學(xué)在創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境方面有著一定區(qū)別。學(xué)生往往只要能“正確解讀，有序翻譯”前者的背景信息就能解決問(wèn)題，需要“合理選擇，有效提煉”后者的背景信息才能解決問(wèn)題。教學(xué)實(shí)踐表明，部分教師對(duì)建模思想缺乏深刻的認(rèn)識(shí)，將“從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題”簡(jiǎn)單地理解為給學(xué)生一些具有生活味道或具體情境的建模背景，將這一環(huán)節(jié)的重點(diǎn)放在讓學(xué)生能體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)社會(huì)的聯(lián)系上。

現(xiàn)在我們不妨來(lái)比較兩個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題1：甲數(shù)是12，將甲數(shù)減去7再加上1，就得到乙數(shù)。乙數(shù)是多少？

問(wèn)題2：公交車(chē)出站時(shí)，車(chē)上有12人。經(jīng)過(guò)站點(diǎn)A，下車(chē)7人，上車(chē)1人；經(jīng)過(guò)站點(diǎn)B，下車(chē)1人，上車(chē)9人；經(jīng)過(guò)站點(diǎn)C，下車(chē)5人，上車(chē)13人。最后，車(chē)上有多少人？（教師以視頻形式提供信息）

問(wèn)題1是傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的文字題，問(wèn)題2是課改后常見(jiàn)的具有生活情境意義的情景問(wèn)題，也是某些教師提供給學(xué)生的建模情境。深入分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題2雖然披上了生活情境的外衣，但與問(wèn)題1并無(wú)實(shí)質(zhì)的區(qū)別，只不過(guò)是將“加”換成了“上”，“減”換成了“下”，對(duì)于已經(jīng)學(xué)習(xí)了加減法，正在學(xué)習(xí)加減混合運(yùn)算的學(xué)生而言，只需要將生活語(yǔ)言簡(jiǎn)單地翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言即可。具有現(xiàn)實(shí)意義的情境并不都適合作為數(shù)學(xué)建模的情境，一般情況下適合數(shù)學(xué)建模的情境應(yīng)該具有非良構(gòu)性，至少應(yīng)該具備以下某些特征：①情境所含信息的豐富性，即情境所含信息并不完全與解決問(wèn)題所需的條件匹配，而需要進(jìn)行一定的取舍或加工；②條件和問(wèn)題的非明確性，即并沒(méi)有提供非常明確的待解決問(wèn)題和相關(guān)條件；③解決問(wèn)題方式的新穎性，即解決問(wèn)題的方式不是個(gè)體已有經(jīng)驗(yàn)的直接應(yīng)用，而需要經(jīng)過(guò)一定的創(chuàng)新性運(yùn)用。建模教學(xué)需要現(xiàn)實(shí)意義的情境，但這里的現(xiàn)實(shí)意義還必須符合建模的自身特點(diǎn)。因此，教師應(yīng)該給學(xué)生提供需要“合理選擇，有效提煉”的情境，而不是“正確解讀，有序翻譯”的情境。同時(shí)，應(yīng)避免情境描述簡(jiǎn)單化，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法經(jīng)歷從生活情境到數(shù)學(xué)問(wèn)題的“提煉過(guò)程”，而僅僅經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境到數(shù)學(xué)問(wèn)題的“翻譯過(guò)程”。

二、模型建構(gòu)：給足探究時(shí)間，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力

數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)建模教學(xué)要求教師改變過(guò)去把知識(shí)按不同題型“注入”學(xué)生大腦中的灌輸式教學(xué)模式，提倡創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考、抽象歸納，整合已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，自主探求解決問(wèn)題的方法。在這一過(guò)程中，教師應(yīng)該給學(xué)生提供充足的探究時(shí)間，讓學(xué)生充分經(jīng)歷獨(dú)立思考、思維碰撞、思維優(yōu)化的過(guò)程，在建立解決問(wèn)題的模型過(guò)程中提升數(shù)學(xué)思考能力。如某教師給六年級(jí)的學(xué)生提供了以下問(wèn)題情境：“一塊長(zhǎng)方形麥田的長(zhǎng)是500米，寬是300米。如果用射程是10米的自動(dòng)旋轉(zhuǎn)噴灌裝置進(jìn)行噴灌，大約需要多少個(gè)這樣的噴灌裝置？”這個(gè)情境實(shí)踐性很強(qiáng)，雖然條件和問(wèn)題都很明確，但無(wú)法利用已有知識(shí)簡(jiǎn)單處理。學(xué)生必須考慮安裝水龍頭的現(xiàn)實(shí)可能性、操作合理性、水資源充分利用、安裝方便等方面去分析、構(gòu)建解決問(wèn)題的模型。獨(dú)立探究后，學(xué)生得出了以下方法。

方法1：從面積比的角度考慮，列式為500×300÷（3?郾14×10×10）≈478（臺(tái)）。

方法2：從面積的角度考慮，但是將圓面積簡(jiǎn)化處理為其外切正方形的面積（如圖1所示）列式為500×300÷（20×20）＝375（臺(tái)）。

方法3：從面積的角度考慮，但是將圓面積簡(jiǎn)化處理為其內(nèi)接正方形的面積（如圖2所示），列式為500×300÷（■×■）＝750（臺(tái)）。

方法4：根據(jù)間距考慮可以裝幾排幾列，列式為（500÷20）×（300÷20）＝375（臺(tái)）。

方法5：根據(jù)間距考慮可以裝幾排幾列，列式為500÷■≈35，300÷■≈21，35×21＝735（臺(tái)）。

跟傳統(tǒng)答案相對(duì)唯一或確定的問(wèn)題不同，本題的這五種解法雖然思路和結(jié)果都不盡相同，但都有其合理性，都是學(xué)生有效建立數(shù)學(xué)模型的結(jié)果。這些不同的模型體現(xiàn)出的思維層次有所差別，教師組織交流活動(dòng)，學(xué)生或講解自己的思路，或提出自己的困惑，在交流過(guò)程中，調(diào)整或優(yōu)化著自己的想法，吸納著彼此的思路和觀點(diǎn)。大家意識(shí)到：方法1，容易理解，但僅考慮純數(shù)量關(guān)系，忽略了麥田的面積以及噴頭的安裝位置、可噴面積的形狀、噴灌時(shí)交叉的區(qū)域，現(xiàn)實(shí)性較弱；方法2和方法3，不僅考慮了噴頭安裝位置，并且將噴頭的可噴面積簡(jiǎn)化處理成正方形，使問(wèn)題解決變得更簡(jiǎn)單；方法4、5與方法2、3有些許不同；按照有些方法安裝噴頭，部分麥田無(wú)法被噴到，而按另一些方法安裝，部分麥田被重復(fù)噴到；像方法5一樣要求麥田所有的地方都被噴到，還可以考慮圓內(nèi)接正六邊形，按圖3所示方式安裝，所需的噴頭更少等。這樣的探究過(guò)程，使學(xué)生意識(shí)到解決問(wèn)題重要的不是套用某個(gè)公式得出某個(gè)結(jié)論，而是運(yùn)用所學(xué)知識(shí)建構(gòu)模型使問(wèn)題得到合理、有效的解決，同時(shí)也能提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、優(yōu)化方案等能力。

三、模型應(yīng)用：提供變式內(nèi)容，發(fā)展學(xué)生的遷移變通能力

數(shù)學(xué)模型思想和符號(hào)化思想都是經(jīng)過(guò)抽象后用符號(hào)和圖表表達(dá)數(shù)量關(guān)系和空間形式。但是符號(hào)化思想更注重?cái)?shù)學(xué)抽象和符號(hào)表達(dá)，而數(shù)學(xué)模型思想更重視如何經(jīng)過(guò)分析抽象建立數(shù)學(xué)模型，更加重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用，即通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問(wèn)題尤其是現(xiàn)實(shí)中的各種問(wèn)題。只有將數(shù)學(xué)模型還原為具體的數(shù)學(xué)直觀或可感知的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，或利用建模過(guò)程中所采用的策略解決其他問(wèn)題，才能使所建立的數(shù)學(xué)模型具有生命力。

當(dāng)學(xué)生建立了“被除數(shù)÷除數(shù)＝商……余數(shù)” 這一“有余數(shù)除法”模型后，教師引導(dǎo)學(xué)生完成以下習(xí)題。

1. 有糖31塊，平均分給7個(gè)人，每人分幾塊，還剩幾塊？

2. 有糖31塊，每7塊裝成1袋，可以裝幾袋，還剩幾塊？

3. 一個(gè)星期有7天，十月份共有31天，合幾個(gè)星期零幾天？

4. 已知2004年3月12日是星期五，那么4月12日是星期幾？

5. 如圖所示，黑白兩種三角形按一定規(guī)律排列，請(qǐng)問(wèn)，從左數(shù)起第31個(gè)三角形是黑還是白？ ▲△▲▲△△△▲△▲▲△△△▲△▲▲△△△……

6. 有一堆糖共31塊，兩個(gè)同學(xué)做拿糖比賽的游戲，規(guī)定：①兩人輪流拿；②每人每次至少拿1塊，也可以拿2塊、3塊、4塊、5塊，但最多只能拿6塊；③誰(shuí)拿最后1塊誰(shuí)勝。你如果是先拿，你能想出取勝的拿法嗎？

這里的模型應(yīng)用包括了兩個(gè)層次：第一個(gè)層次，模型的直接應(yīng)用，如問(wèn)題1至5的解決；第二個(gè)層次，模型的變式運(yùn)用，如問(wèn)題6的解決。當(dāng)然，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模型的綜合應(yīng)用，如下題。

張南達(dá)有一支較長(zhǎng)的白蠟燭和一支短一些的紅蠟燭。白蠟燭長(zhǎng)40厘米，每小時(shí)可燒去3厘米的長(zhǎng)度。這支蠟燭在給定的小時(shí)數(shù)里燃燒后剩下的長(zhǎng)度為40－燃燒小時(shí)數(shù)×3。

1. 這支白蠟燭燃燒4小時(shí)后的長(zhǎng)度剩多少？

2. 紅蠟燭比白蠟燭更短，但也更細(xì)些。它長(zhǎng)15厘米，每小時(shí)要燒去0?郾5厘米的長(zhǎng)度。請(qǐng)?jiān)煲粋€(gè)公式以計(jì)算這支紅蠟燭在給定的小時(shí)數(shù)里燃燒后剩下的長(zhǎng)度。

3. 兩支蠟燭中，哪一支持續(xù)（燃燒）的時(shí)間更長(zhǎng)些？展示出你的計(jì)算。

4. 張南達(dá)想：如果這兩支蠟燭同時(shí)點(diǎn)燃并讓它們持續(xù)燃燒，在某一時(shí)刻它們的長(zhǎng)度將完全相等。張南達(dá)的想法正確嗎？如果你回答“正確”，請(qǐng)說(shuō)出什么時(shí)候這兩支蠟燭將一樣長(zhǎng)；如果你回答“不正確”，請(qǐng)解釋為什么這兩支蠟燭決不會(huì)一樣長(zhǎng)。

這樣的模型應(yīng)用，循序漸進(jìn)。隨著一個(gè)個(gè)問(wèn)題的相繼提出和解決，學(xué)生逐漸深化了對(duì)模型的理解，拓展了所建模型應(yīng)用的深度和廣度，也強(qiáng)化了從不同問(wèn)題情境中找出同一結(jié)構(gòu)關(guān)系的數(shù)量結(jié)構(gòu)的行為習(xí)慣，提高了遷移所學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的能力。

（作者單位：福建省福州市錢(qián)塘小學(xué) 責(zé)任編輯：王彬）