基于一道經典習題開展數學探究教學

摘要：數學新課程標準倡導積極主動、勇于探究的學習方式。在課堂教學實踐中，要求教師對日常的課堂教學例題或習題要進行認真的篩選，精心的分析、探究，引導學生主動參與探索，從而達到培養學生的探究能力。本文是筆者在一次課堂教學中真實的探究。

關鍵詞：數學學習；習題；探究教學

中圖分類號：G712文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2012）19-092-2習題在直角坐標系xoy中，拋物線y2=2px（p>0）上有兩個動點A、B，且滿足∠AOB=90°（O為坐標原點）。求線段AB中點M的軌跡方程。

分析在高中數學教學中，建立動點的軌跡方程的本質就是建立動點的橫坐標x與縱坐標y之間的關系式。一是根據已知條件直接建立動點的橫坐標x與縱坐標y的方程；二是引進參數t，用參數t分別表示坐標x，y，然后再消去參數建立x，y之間的關系。

一、在問題解決的過程中進行探究

要真正開展探究，不能只是重視結果，更要關注解題方法和思路的形成過程，在過程中要給學生時間和空間。

1.思路一：用參數方程的思想建立軌跡方程

探究一設直線AB的方程，然后用直線方程中的斜率或截距等參數表示動點的橫坐標和縱坐標，最后消去參數建立軌跡方程。

分析（1）若線段AB的斜率不存在時，則A、B關于x軸對稱，即OB的直線方程為y=x，由y=x，

y2=2px，解得x=2p，

y=2p，即A（2p，2p），所以線段AB中點M的坐標為（2p，0）。

（2）若線段AB的斜率存在時，設直線AB的方程為：y=kx+b，A（x1，y1）、B（x2，y2），線段AB中點M（x0，y0），則y0=kx0+b，由∠AOB=90°，所以x1x2+y1y2=0。

再由y=kx+b，

y2=2px，消去x得ky22p-y+b=0，則y1+y2=2pk，y1y2=2pbk，

由y21=2px1，y22=2px2，所以x1x2=y21y224p2=b2k2，又由x1x2+y1y2=0，得b=-2pk，

又y0=kx0+b，所以y0=k（x0-2p）……（1），而y0=y1+y22=pk……（2），

（1），（3）得y20=p（x0-2p），所以線段AB中點M的軌跡方程為y2=p（x-2p）。

點撥本題所求的動點是AB的中點，所以可將問題轉化為直線AB與拋物線的位置關系來處理，利用一元二次方程根與系數的關系，直接表示出中點M的橫坐標和縱坐標與直線AB斜率k之間的關系，然后再消去參數k，從而建立中點M的軌跡方程，此種方法稱為參數法。

參數法解題的關鍵是如何假設參數，本題是否換個角度假設參數來求解呢？學生思考探究出如下解法。

探究二設直線OA的方程為y=kx，則直線OB的方程為y=-1kx，用參數k求出點A、B坐標，然后表示中點M的坐標，最后消去參數建立軌跡方程。

分析設AB中點M（x，y）。由OA⊥OB，設直線OA的方程：y=kx，則直線OB的方程：y=-1kx。

由y=kx，

y2=2px，消去x得y2=2pky，所以A（2pk2，2pk）。同理將k代換為-1k，得B（2pk2，-2pk），

則x=pk2+pk2，

y=p（1k-k），消去k得y2=p（x-2p）。所以線段中點M的軌跡方程為y2=p（x-2p）。

點撥由于OA⊥OB，設OA的斜率為k，則OB的斜率為-1k，從而可以求出A、B兩點坐標，進而求出中點M的橫坐標、縱坐標與斜率k的關系式，然后再消去參數。

此兩種方法都稱為參數法，其實本題能否根據已知條件，找到與動點有關的等量關系式來建立軌跡方程呢？

2.思路二：將已知條件轉化為關于動點的等量關系式

探究三將條件∠AOB=90°，轉化為動點OM=12AB，然后用兩點距離公式直接表示，建立方程。

分析當直線AB斜率不存在時，求得中點M的x=2p。

當直線斜率存在時，設拋物線上的動點A（x1，y1）、B（x2，y2），中點M（x0，y0），則

y21=2px1，y22=2px2，（y1y2）2=4p2x1x2。由y21-y22=2p（x1-x2），

所以kAB=y2-y1x2-x1=2py1+y2=py0，

由∠AOB=90°，所以x1x2+y1y2=0，則y1y2=-4p2，x1x2=4p2。

又由∠AOB=90°，所以OM=12AB。而OM=x20+y20，

AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2=1+k2AB|x1-x2|=1+k2AB（x1+x2）2-4x1x2

=1+p2y204x20-16p2，由OM=12AB，所以x20+y20=121+p2y204x20-16p2，

化簡得x20+y20=（1+p2y2）（4x20-16p2），y40+4y20p2+4p4=p2x20，則

（y20+2p2）2=p2x20，由x0≥0，所以y20=px0-2p2。即線段AB的中點M的軌跡方程為y2=p（x-2p）。

點撥在我們研究的問題時，不能就題解題，有時需要我們認真研究已知條件，利用有關概念的性質，挖掘出問題的隱含條件，以便快速求解。

為了能很好地開展探究，需要我們指導學生牢固的掌握基礎知識，學會多聯想。其實我們知道在拋物線中，拋物線上若兩點的橫坐標或縱坐標乘積為定值，則這兩點連線的動弦過定點。由上求解知A，B兩點的橫坐標和縱坐標都為定值，從而猜想直線AB過定點。

探究四利用已經知道的結論尋找動點的等量關系式。由∠AOB=90°知道斜邊AB所在直線過定點Q（2p，0），然后得到與動點M有關的關系式kAB=kMQ。

分析設拋物線上的動點A（x1，y1）、B（x2，y2），中點M（x，y），則y21=2px1，y22=2px2，（y1y2）2=4p2x1x2，由∠AOB=90°，所以x1x2+y1y2=0，則y1y2=-4p2，x1x2=4p2。

當直線AB的斜率不存在時，則A、B兩點關于x軸對稱，設直線OA的方程為y=x，解得A（2p，2p），同理解得B（2p，-2p），所以直線AB方程為：x=2p；

當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+b，由y=kx+b，

y2=2px，所以k2py2-y+b=0，所以y1y2=2pbk，所以b=-2pk，則直線AB為y=k（x-2p），所以直線AB恒過定點為Q（2p，0）。

問題轉化為求過定點Q（2p，0）的拋物線的弦的中點的軌跡方程。由kAB=y1-y2x1-x2=2py1+y2=py，又直線AB過點Q、M，所以kMQ=yx-2p，由kAB=kMQ，所以y2=p（x-2p），即線段AB中點M的軌跡方程為y2=p（x-2p）。

點撥本題的解法是將OA⊥OB等價轉化為直線AB過定點Q，再利用直線AB上有四點，即AB的斜率與MQ的斜率相等。

探究五設而不求的思想。

分析設拋物線上的動點A（x1，y1）、B（x2，y2），中點M（x，y），則y21=2px1，y22=2px2，所以（y1y2）2=4p2x1x2，由∠AOB=90°，所以x1x2+y1y2=0，則y1y2=-4p2，

由x=x1+x22，

y=y1+y22，所以x=y21+y224p=（y1+y2）2-2y1y24p=4y2+8p24p，所以y2=p（x-2p）。

所以線段AB中點M的軌跡方程為y2=p（x-2p）。

點撥在圓錐曲線中，在處理直線與圓錐曲線相交問題時，直接求交點比較復雜，通過設而不求，避免了求交點，同時也簡化了計算。

在我們平時的教學過程中，我們最容易做的，也是最好做的首先是開展一題多解，進行探究，在此基礎上，我們可以組織學生多變、拓展、延伸的探究。

二、在對原問題的條件和結論的互換、拓展、延伸中進行探究

拓展一若將原點改為拋物線上的除原點外的任意定點Q（x0，y0），A、B為拋物線上的動點，若∠AQB=90°，求動弦AB的中點M的軌跡方程。

分析設拋物線上的動點A（x1，y1）、B（x2，y2），則y21=2px1，y22=2px2，AB中點M（x，y），由∠AQB=90°，所以（x1-x0）（x2-x0）+（y1-y0）（y2-y0）=0，

所以有（y212p-y202p）（y222p-y202p）+（y1-y0）（y2-y0）=0，（y1+y0）（y2+y0）+4p2=0，

則y1y2+（y1+y2）y0+y20+4p2=0……（1）。

由M為AB的中點，所以x=x1+x22，

y=y1+y22，……（2），

∴2x=y21+y222p，

所以4px=（y1+y2）2-2y1y2……（3），

由（1）（2）（3）得4px=4y2+4y0y+2y20+8p2，所以y2+y0y+12y20+2p2-px=0，

所以所求點的軌跡為y（y+y0）=p（x-x0-2p）。

三、在一法多用中探究

拓展二在直角坐標系xoy中，過拋物線y2=2px（p>0）對稱軸上一定點P（2p，0）任作一直線交拋物線于點A、B，O為坐標原點，問直線OA、OB的斜率之積是否問定值（∠AOB是否為定值直角）？

分析若所作直線的斜率不存在，則A（2p，2p），B（2p，-2p），則kOAkOB=-1，則直線OA、OB的斜率之積為定值-1。

若所作直線的斜率存在，則設直線方程為x=my+2p，A（x1，y1），B（x2，y2）。

由x=my+2p，

y2=2px，消去x得y2-2pmy-4p2=0，則y1y2=-4p2，又由y21=2px1，y22=2px2，所以（y1y2）2=4p2x1x2，則x1x2=4p2，又由kOAkOB=y1y2x1x2=-1，所以直線OA、OB的斜率之積是定值-1。

拓展三在直角坐標系xoy中，過拋物線y2=2px（p>0）對稱軸上一定點P（a，0）任作一直線交拋物線于點A、B，O為坐標原點，問直線OA、OB的斜率之積是否為定值？

分析探求過程與拓展二相同，直線OA、OB的斜率之積是定值-2pa。

結論過拋物線對稱軸上一點（異于拋物線的頂點）任意作一直線交拋物線于A，B兩點，則拋物線的頂點與這兩點連線的斜率之積為定值，其他任意一定點與這兩點的連線斜率之積不為定值。

高中數學課堂上應力求通過各種不同形式的探究活動，將知識的傳授過程變為知識的探究過程，方法的形成過程變為思維升華的探究建構過程，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識。