影響重力加速度測量精確度因素的研究

摘 要：本文從用單擺測量重力加速度的原理出發(fā)，分析了影響測量精確度的各種因素，并介紹了一些其他相關單擺的測量方法。

關鍵詞：重力加速度；單擺；角度；簡諧運動

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A

文章編號：1992-7711（2012）18-087-1

用單擺測量重力加速度的方法是中學物理的一個演示實驗，由于種種原因，學生對實驗原理，特別對影響實驗精確度因素的理解不夠充分，本文從實驗原理開始，主要對影響實驗精確度的因素進行分析，并且介紹了一些其他相關單擺的實驗方法。

一、原理

單擺，亦稱“數學擺”。在細線的一端拴一小球，另一端固定在懸點上，如果線的伸縮和質量可以忽略，線的長度比球的直徑長得多，這樣就組成了一個單擺。用單擺法測定重力加速度的值g，其實通過測量單擺的擺長L和周期T就可間接地求出g。如果空氣阻力不計，當擺角小于5度，單擺就做簡諧振動，此時有公式T=2πLg[1+（12）2sin2θ2+（12）2（32）2sin4θ2+…]

因為擺角很小，我們一般取零級近似即取T=2πLg，所以，我們只需在所要求條件下測出T與L的大小，便可求出g=4π2L/T2。

二、影響測量精確度的因素分析

其實單擺是一種理想化模型，一般情況下所做的單擺并不標準，其測量的結果也不精確，影響精確度的因素主要有以下幾種。

1.擺線的伸縮性。如果擺線的伸縮不能忽略，而其他條件都適合。

設擺線是勁度為K，自由長度為L的彈性線，建立極坐標系，則運動微分方程為：

（1）mar=m[r″-r（θ′）2]=mgcosθ-k（r-l）

maθ=m（rθ″+2r′θ′）=mgsinθ

當θ很小，近似取sinθ=θ，cosθ=1，方程組變?yōu)椋?/p>

（2）r″-r（θ′）2+km（r-l）=g

θ″-1r2r′θ′+grθ=0 （3）（θ′）2+g/l=0

θ″+gθ/l=0

再利用積分便可求得周期T=2πLg，因此只有在擺線的伸縮不計、其他條件都滿足的情況下，才能得到周期公式。

2.擺角偏大。如果擺角較大，其他條件都滿足時，設擺的最大擺角為θ0，則擺的機械能為：E=12mv2+mgh=12l2（θ′）2+mgl（1-cosθ）=mgl（1-cosθ0）

由此而得：T=4lg∫π20（1+12k2sin2u+38k2sin4u+…）du=2πl(wèi)g（1+14sin2θ02+…）

上式為一無窮級數，只有當擺角較小，一般取小于5度，上式中第二項及以后的高次冪項完全可以忽略，此時周期T=2πLg成立；當擺角較大時，周期T=2πLg并不成立。因此在做用單擺測量g時，一定要注意擺角不能大于5度，否則會有很大誤差。

3.空氣的阻力。如果在做單擺實驗時，其他條件都滿足，只有空氣阻力不能忽略，在這種情況下，由于單擺擺球速率較小，可以認為空氣阻力與擺球速率成正比，另外又因擺球位移為：x=lθ，所以空氣阻力為：f=-rlθ′（r為阻力系數），所以單擺的運動微分方程為：mlθ″=mgθ-rlθ′

兩邊同除以m和l后有：θ″+rmθ′-glθ=0

可見單擺所做的不是簡諧運動。令：w20 = gl，β = -r2m

于是方程變?yōu)椋害取?2βθ′+w20 θ=0

因為單擺在空氣中一般呈弱阻尼，即β小于0，解上一個方程得：θ=θ0e-βtcos（ω′t+α） 其中ω′ = ω20 -β2。

所以空氣阻力不能忽略時，單擺做弱阻尼振動，而不是周期性運動。但是cos（ω′t+α）是周期性變化的，故振動周期

T = 2πω′ = 2πω20 -β2

當空氣阻力能忽略時，r=0，β=0，所以此時單擺的周期為：T=2πω0=2πl(wèi)g這就是單擺的周期公式。

教材中的用單擺法測g的演示實驗雖然在中學里比較通用，但并不一定是最好的，它仍有改進的地方，因為要理解實驗的原理，對于中學生而言，如果從理論上來分析，基本上是行不通的，其實我們可以從實驗的角度出發(fā)，在該實驗的基礎上將該演示實驗改變?yōu)閷Ρ刃詫嶒灥膰L試，即運用控制變量的方法進行同時比較，這樣較容易理解實驗的原理。具體的實驗是這樣的，先將擺長L相同，質量m不同的兩擺懸于同一鐵架臺上，將它們拉開相同的角度讓其同時作間諧振動，由振動快慢完全一致可知T與m無關。若將上述兩擺拉開不同角度（均小于5度），讓其同時開始擺動，由彼此同時到達最高點與最低點可知，T與拉開角度無關。對T與L關系的研究，可取擺長分別為L和4L 的A與B兩擺，讓其同時開始擺動，不難發(fā)現，當B振動兩次時A恰振動了一次，若取A與B的擺長為L與9L，則B振動三次A振動了一次。由此可見，周期T的平方正比于L。至于重力加速度g與T的關系，我們可以采用模擬g的變化的辦法進行比較，如在鐵質擺球下方放置一磁鐵以變相增大“g”與另一普通單擺（兩擺的擺長相同）進行同時比較，可以發(fā)現，如果當放磁鐵的單擺的“重力加速度”增大至4g并振動一次時，那么普通單擺同時會振動兩次；如果增大至9g并振動一次時，那么普通單擺同時會振動3次。因此可以推理得，當單擺擺長一定時，周期T的平方與當地的重力加速度成反比。通過上述對比性實驗，不但能幫助學生理解實驗原理，有助于培養(yǎng)學生思維的對比性和創(chuàng)新性，而且有助于增強實驗的演示效果。