走出困境:“以舊換新”化概念(下)

每年，包括浙江卷在內(nèi)的各地高考卷以及各高校的自主招生卷中，均有一些新概念閱讀題. 它們代表了高考命題的一種方向，旨在考查同學(xué)們未來學(xué)習(xí)的潛能． 這類題目信息量較大，理解起來很不容易，常常使許多同學(xué)感到害怕． 如何正確轉(zhuǎn)化新信息為己用呢？今天，我們就來談?wù)勥@個問題．

例 設(shè)f（x）是定義在區(qū)間（1，+∞）上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．若存在實數(shù)ａ和函數(shù)ｈ（x），其中ｈ（x）對任意的ｘ∈（1，+∞）都有ｈ（x）＞0，使得f′（x）＝ｈ（x）（ｘ2-ａｘ+1），則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（ａ）.

（1） 設(shè)f（x）＝ｌｎｘ+ （ｘ＞1，b∈R）． 試證明f（x）具有性質(zhì)P（b），并求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2） 已知函數(shù)g（x）具有性質(zhì)P（1）． 1＜x1

題意解讀： 例題的核心概念是“函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（ａ）”，這是什么意思呢？由題意可知， f（x）是定義在區(qū)間（1，+∞）上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）能表示為ｈ（x）（ｘ2-ａｘ+1）的形式，且ｈ（x）＞0．

比如，當(dāng)ａ＝1時，若f′（x）＝ｘ（ｘ2-ｘ+1），此時ｈ（x）＝ｘ （x>1）恒為正，所以函數(shù)f（x）就具有性質(zhì)P（1）. 而導(dǎo)函數(shù)為f′（x）＝ｘ（ｘ2-ｘ+1）的函數(shù)有無數(shù)個， f（x）＝ｘ4-ｘ3+ｘ2+6就是其中之一．同樣地，若f′（x）＝（ｘ2+3ｘ+1），函數(shù)f（x）就具有性質(zhì)P（-3）.也就是說，若一個定義在（1，+∞）上的函數(shù)具有性質(zhì)P（ａ），它的導(dǎo)函數(shù)就能寫成ｘ2-ａｘ+1與一個在（1，+∞）上恒為正的函數(shù)ｈ（x）的積的形式．

進一步思考，我們會發(fā)現(xiàn)，只要取ｈ（x）＝，就可以將任意一個具有性質(zhì)P（ａ）的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）寫成ｈ（x）（ｘ2-ａｘ+1）的形式． 其關(guān)鍵是當(dāng)x∈（1，+∞）時，>0恒成立．換句話說，只要當(dāng)x>1時f′（x）與ｘ2-ａｘ+1始終同號，函數(shù)f（x）便具有性質(zhì)P（a）.

由于導(dǎo)數(shù)的正負(fù)決定著原函數(shù)的單調(diào)性，我們可以進一步認(rèn)識到，命題老師設(shè)計的這個概念——函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（a）——對于判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性有著特定的意義：如果函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（a），那么只要確定二次函數(shù)y=ｘ2-ａｘ+1的正負(fù)就能確定f（x）的單調(diào)性．難怪命題老師會讓我們在確定函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（a）之后，再去討論函數(shù)的單調(diào)性并處理不等式！

問題（1）解析： 對f（x）=lnx+求導(dǎo)，得f′（x）=．令h（x）=， ∵ 當(dāng)x>1時h（x）>0， ∴ f（x）=h（x）（ｘ2-ｂｘ+1）具有性質(zhì)P（b）．

當(dāng)ｘ2-ｂｘ+1>0時， f′（x）=h（x）（ｘ2-ｂｘ+1）>0， f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)ｘ2-ｂｘ+1＜0時，同理可得f（x）單調(diào)遞減． 要確定函數(shù)m（x）=ｘ2-ｂｘ+1的值，就要進行分類討論．

當(dāng)b≤2時，對于x∈（1，+∞），ｘ2-ｂｘ+1≥ｘ2-2ｘ+1＞0， ∴ f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

當(dāng)b>2時，解方程ｘ2-ｂｘ+1=0得x1=∈（1，+∞），x2=∈（0，1）． ∴ x2不在定義域內(nèi). ∴ 由二次函數(shù)的圖象可判斷，當(dāng)x∈1，時， f′（x）<0， f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈，+∞時，f′（x）>0， f（x）單調(diào)遞增．

問題（2）解析： 首先，由函數(shù)g（x）具有性質(zhì)P（1）可知g′（x）與ｘ2-ｘ+1在區(qū)間（1，+∞）上同號，又ｘ2-ｘ+1>0恒成立， ∴ g′（x）>0， ∴ g（x）單調(diào)遞增． 其次，由α=mx1+（1-ｍ）ｘ2，β＝（1-ｍ）ｘ1+mx2可得α+β＝x1+x2， ∴ α，β關(guān)于對稱分布．

若0mx1+（1-ｍ）ｘ2 ＞mx1+（1-ｍ）ｘ1＝ｘ1，α=mx1+（1-ｍ）ｘ2＜mx2+（1-ｍ）ｘ2＝ｘ2，∴ α∈（x1，x2）；同理可得β∈（x1，x2）．如圖1所示，此時α，β，x1，x2四個數(shù)共有三種大小關(guān)系：ｘ1＜α＜β＜ｘ2，ｘ1＜β＜α＜ｘ2和ｘ1＜α＝β＜ｘ2．

若ｍ≤0，則α＝ｍｘ1+（1-ｍ）ｘ2≥mx2+（1-ｍ）ｘ2＝ｘ2，β＝（1-ｍ）ｘ1+mx2≤（1-ｍ）ｘ1+mx1＝ｘ1. 如圖2所示，此時β≤ｘ1＜ｘ2≤α．

若ｍ≥1，同理可得α≤ｘ1＜ｘ2≤β，如圖3所示.

∵ g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)0＜ｍ＜1時，可得g（x1）＜g（α）＜g（β）＜g（x2），g（x1）＜g（β）＜g（α）＜g（x2）或g（x1）＜g（α）＝g（β）＜g（x2），此時g（α）-g（β）＜g（x1）-g（x2）成立. 當(dāng)ｍ≤0或ｍ≥1時，g（α）-g（β）≥g（x1）-g（x2）不合題意，所以ｍ的取值范圍是0＜ｍ＜1．

點評：

問題（2）出現(xiàn)了x1，x2，α，β，m等多個參數(shù)和一個抽象函數(shù)g（x），看上去信息量較大．其實仔細(xì)分析起來，這道題目并不復(fù)雜．因為同學(xué)們早在學(xué)習(xí)統(tǒng)計和向量時，就對α=mx1+（1-ｍ）ｘ2這種形式的加權(quán)平均式有所了解了，而g（x）具有性質(zhì)P（1）只是告訴我們g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

一切所謂的新題型都是紙老虎. 只要同學(xué)們能夠全身心地投入到對題目的閱讀理解中，采取具體化、特殊化、數(shù)形結(jié)合等手段，對題目“去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里”地進行分析整合，就能明白它真正的含義，并將其轉(zhuǎn)化為最基本的題型. 而無論從應(yīng)試心理還是解題智慧的角度來說，成功經(jīng)歷過這種分析轉(zhuǎn)化新信息的過程，將是同學(xué)們面對種種解題困境的最好準(zhǔn)備．

練一練

已知ａ，ｂ是實數(shù)，函數(shù)f（x）＝ｘ3+ａｘ，ｇ（x）＝ｘ2+ｂｘ， f′（x）和ｇ′（x）分別是f（x）和ｇ（x）的導(dǎo)函數(shù). 若f′（x）ｇ′（x）≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f（x）和ｇ（x）在區(qū)間I上單調(diào)性一致．

（1） 當(dāng)a>0時，若f（x）和g（x）在區(qū)間［-1，+∞）上單調(diào)性一致，求ｂ的取值范圍；

（2） 當(dāng)ａ＜0且ａ≠ｂ時，若f（x）和g（x）在（a，b）上單調(diào)性一致，求a-b的最大值．

參考答案

解：（1） f′（x）=3x2+a，g′（x）=2x+b． 由單調(diào)性一致的定義可知當(dāng)a>0時，（3ｘ2+ａ）·（2ｘ+ｂ）≥0在區(qū)間［-1，+∞）上恒成立． ∵ 3ｘ2+ａ>0， ∴ 2ｘ+ｂ≥0在區(qū)間［-1，+∞）上恒成立． 解得b的取值范圍是［2，+∞）.

（2） 由題意得f′（x）ｇ′（x）=（3x2+a）（2x+b）≥0 （ａ＜0）在區(qū)間（ａ，ｂ）上恒成立. 若ｂ＞0，則區(qū)間（ａ，ｂ）內(nèi)含有0，而f′（0）ｇ′（0）=ａｂ＜0，與題意矛盾， ∴ b≤0， ∴ 在區(qū)間（ａ，ｂ）上2ｘ+ｂ＜0.由f′（x） ｇ′（x）≥0可知3x2+a≤0，解得ｘ∈-，． ∵ x∈（a，b），b≤0， ∴ x∈-，0， ∴ ａ≥-，解得-≤a<0． ∴ 對（ａ，ｂ）而言，長度最大的開區(qū)間為-，0，當(dāng)且僅當(dāng)ａ＝-，ｂ＝0時，ａ-ｂ的最大值為.

【編后語】 經(jīng)過長達十期的連載，“破解函數(shù)壓軸題”這個系列在此告一段落了。盡管函數(shù)大題變化多端、讓人犯憷，但我們總結(jié)出了不少“絕招”，從“給導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)”“反代法”一直到“化歸轉(zhuǎn)化新概念”，這些“招數(shù)”既實用也便于理解． 看完這個系列，你有沒有收獲呢？歡迎登錄新浪微博@中學(xué)生天地，談?wù)勀愕母惺埽?/p>