讓抽象函數問題不再抽象

抽象函數是指沒有具體的函數解析式，只給出某些性質（如單調性、奇偶性、遞推關系式等）的函數．抽象函數問題概念抽象、靈活性強、綜合程度高，對同學們的邏輯思維能力要求較高，經常出現在高考中，如2011年高考數學遼寧卷（理科）第11 題、2011年高考數學陜西卷（理科）第3題、2009年高考數學浙江卷（理科）第10題等． 如何讓抽象函數問題不再抽象？今天，我們就來簡單地討論這個問題．

例 已知f（x）是定義在實數集R上的函數，且f（x+2）［1-f（x）］＝1+f（x），f（1）＝-1，則f（2011）的值為

（A） -1+（B） 1- （C） 1+ （D） -1-

分析： ∵ f（x+2）=， f（1）=-1，∴ f（3）=+1， f（5）=--1， f（7）=1-， f（9）=-1， f（11）=+1，…. 由f（9）=-1=

f（1），f（11）=+1=f（3），…，我們發現f（x）的周期恰好為8，由此可得f（2011）=f（251×8+3）=f（3）=+1． 但這種解法缺點明顯，一是需要通過大量計算尋找抽象函數的性質，二是沒有強有力的證明過程證明答案的正確性．

其實，許多抽象函數都是以特殊函數為背景抽象而成的，如果我們能找到其對應的背景函數，就能更快更有效地解決問題． 對于f（x+2）=，如果我們聯想到tan+x=，就會發現兩者結構相似. 由y=tanx的周期T=π=4×，我們可以猜想 f（x）也有可能是周期函數，且周期T＝4×2=8．這種背景函數模型化的思考，無疑為我們指明了解題方向．

解：由條件可知f（x+2）=， ∴ f（x+4）=f［（x+2）+2］===-， f（x+8）=f［（x+4）+4］=-=-=f（x）， ∴ f（x）是以8為周期的周期函數， f（2011）= f（251×8+3）=f（3）==+1．選C．

從例題可以看出，利用特殊化思想是解決抽象函數問題的一個重要手段. 如果我們能夠對抽象函數的特征進行觀察、分析、類比和聯想，找到具體的背景函數，再根據背景函數的圖象和性質解題，常常能柳暗花明、事半功倍．

以下是一些常見的抽象函數及其背景函數模型，同學們應力求掌握．

【練一練】

1 已知函數f（x）對一切實數x，y滿足f（0）≠0，f（x+ｙ）＝f（x）f（ｙ）. 當ｘ＜0時，f（x）＞1，則當ｘ＞0時， f（x）的取值范圍是 ．

2 已知函數f（x）在R上單調遞增且為奇函數，數列｛ａｎ｝是等差數列，a3>0，則f（a1）+f（a3）+f（a5）的值

（A） 恒為正（B） 恒為負（C） 恒為零（D） 可正可負

3 已知函數f（x）的定義域為R，對一切實數x，y都有f（x+ｙ）＝f（x）+f（ｙ）-1，且f-＝0. 當ｘ＞-時，f（x）＞0．

（1） 討論f（x）的奇偶性，并說明理由；

（2） 討論f（x）的單調性，并證明你的結論．

【參考答案】

1 （0，1）. （令f（x）=ax （0＜ａ＜1））

2 A. 解析： 設等差數列｛ａｎ｝的公差為ｄ． ∵ f（x）在R上單調遞增且為奇函數， ∴ f（-2d）+f（0）+f（2d）=0， f（a3）>0＝f（0）． ∵ a3-2d>-2d，a3+2d>2d， ∴ f（a3-2d）>

f（-2d）， f（a3+2d）>f（2d）． ∴ f（a1）+f（a3）+f（a5）=f（a3-2d）+f（a3）+f（a3+2d）>f（-2d）+f（0）+f（2d）=0.

（或設一個滿足條件的背景函數f（x）=x，則f（a1）+f（a3）+f（a5）=a1+a3+a5=3a3 >0）

3 解析：由題意可知，一次函數y=2x+1是一個滿足題設的具體函數，由此猜想抽象函數f（x）是非奇非偶函數，且在R上單調遞增．

（1） 由f（0+0）=f（0）+f（0）-1解得f（0）=1， ∴ f（x）不是奇函數. 又f-=0，由f（0）=f-=f+f--1=f+0-1=1解得 f=2≠f-， ∴ f（x）不是偶函數． ∴ f（x）是非奇非偶函數．

（2） 任取x1，x2∈R且x10， ∴ x2-x1->-． ∵ 當x>-時， f（x）>0，∴ fx2-x1->0， ∴ f（x2）>f（x1），即f（x）在R上單調遞增．