從概率的角度看世界

概率是高中數學的一個重要知識點，也是我們認識隨機世界的一把鑰匙．

曾經有不少學者利用概率知識研究過《紅樓夢》后40回的作者究竟是曹學芹還是高鶚的問題． 他們采用多種統計方法，統計出《紅樓夢》中每章所用的虛詞出現的頻率，由概率論的相關知識得出了《紅樓夢》中寶黛的故事為一人所寫、賈府衰敗的故事為另一人所寫的結論，在“紅學界”引起了轟動.

從概率的角度看問題，我們將看到一個全新的世界.

一、要不要堅持？

例1 在一次試驗中，事件A發生的概率為p（0

解： 事件A至少發生一次的概率符合二項分布. 在n次重復試驗中，事件A一次也沒發生的概率為Pn（0）＝p0（1-ｐ）ｎ，所以事件A至少發生一次的概率為1-Pn（0）＝1-（1-ｐ）ｎ.

點評： 這道題目已經做完了，但我們的思考不應該到此為止. 計算［1-（1-ｐ）ｎ］的值，可得到答案1. 這個答案告訴我們一個道理：“只要功夫深，鐵杵磨成針.”看到這里，你應該會心地笑了吧？

二、真理掌握在誰手中？

例２ 劉備帳下以諸葛亮為首的智囊團共有9名謀士(不包括諸葛亮). 假定對某事進行決策時，每名謀士貢獻正確意見的概率為0.7，諸葛亮貢獻正確意見的概率為0.85． 現劉備為某事可行與否征求每名謀士的意見，并按多數人的意見作出決策，求劉備作出正確決策的概率．

解： 設“貢獻正確意見的人數”為 X，由二項分布可得X～B（9，0.7）．“按多數人的意見作出正確決策”意指“貢獻正確意見的人數”可能是５，６，７，８，９，所以P（5≤X≤9）＝0.7k（1-0.7）9-k≈0.9012．

點評： 由例２的答案可知，謀士們合作后貢獻正確意見的概率０．９０１２大于諸葛亮一人貢獻正確意見的概率０．８５，這就印證了那句俗語：“三個臭皮匠，頂個諸葛亮.”但如果我們把“每名謀士貢獻正確意見的概率”改為“0.3”，并保持其他條件不變，則P′（5≤X≤9）＝·0.3k（1-0.3）9-k≈0.0988． 這一次，９名謀士集體敗北，如果劉備按多數人的意見作出決策，很可能造成失誤. 這又體現了“真理掌握在少數人手中”這句話．

雖然問題的背景基本相同，但數據有所變化，體現的結論也不盡相同：當大多數人對某事都把握較大，即概率大于０.５時，我們應該集思廣益；當大多數人對某事都把握較小，即概率小于０．５時，領導者應該“臨危不亂，當機立斷”． 例2啟發我們：事物都是一分為二的，審時度勢非常重要．

三、小差別導致大差異？

例３ 國王的鑄幣大臣在每箱１００枚硬幣中各摻入一枚假幣. 國王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來檢測．方法一：在１０個箱子中各任意抽查一枚；方法二：在５個箱子中各任意抽查兩枚．國王用方法一和方法二至少能發現一枚假幣的概率分別為p1和p2，則

Ａ． p1＝p2Ｂ． p1＜p2Ｃ． p1＞p2Ｄ． 以上三種情況都有可能

解： 例３是一道以二項分布為背景的實際應用問題． ∵ p1=1-0·10=1-10=1-5， p2=1-5=1-5=1-5， ∴ p1＜p2． 選Ｂ．

點評： 雖然國王兩次都抽取了１０枚硬幣進行檢測，但抽取的方法不同，發現假幣的概率也不相同．例3也揭示了一個道理：“失之毫厘，差之千里.”細微的變化可能會導致全局的巨大改變. 我們也可以用“蝴蝶效應”來說明：南美洲的一只蝴蝶輕扇翅膀，產生微弱的氣流，導致周圍空氣的一系列變化，最終可能會在北美洲引起一場颶風． 所以，做事時認真仔細很重要！

四、要團隊精神還是英雄主義？

例４ 工作人員需進入核電站執行某項具有高輻射危險的任務，每次只派一個人進去，每個人只能派一次，且每次的工作時長不能超過１０分鐘. 如果前一個人不能在１０分鐘內完成任務，則撤出再派下一個人進入．現在共有甲、乙、丙三個人選，他們能完成任務的概率分別為P1，P2，P3，假設P1，P2，P3互不相等，且每個人能否完成任務的事件相互獨立．如果按甲最先、乙次之、丙最后的順序派人，求任務被完成的概率． 若改變派人的先后順序，任務被完成的概率是否會發生變化？

解： 只有當甲、乙、丙三人都不能完成任務時，任務才不能被完成．所以按甲最先、乙次之、丙最后的順序派人，任務被完成的概率為p＝1-（1-p1）（1-p2）·（1-p3）．

因為無論按怎樣的順序派人，任務不能被完成的概率都是（1-p1）（1-p2）·（1-p3），所以完成任務的概率與三個人被派出的先后順序無關，始終等于1-（1-p1）（1-p2）（1-p3）.

點評： 盡管甲、乙、丙三人完成任務的概率不同，但無論怎樣改變派人的順序，三人能完成任務的概率總保持不變． 所以，先派誰去完成任務并不重要，重要的是發揮團隊精神，只有齊心協力，才能最大可能地完成任務．

五、變還是不變？

概率不僅能說明一些道理，還能解決一些實際問題。現在，讓我們來分析一道世界著名的數學問題——蒙提霍爾問題．

例５ 假設你在參加一個游戲節目，現有三扇門供你選擇：一扇門后面是一輛汽車，另兩扇門后面各有一頭山羊．你想得到比較值錢的汽車，但你看不到門后的真實情況．主持人知道每扇門后面是什么．他先讓你做一次選擇．在你選擇了其中一扇門后，主持人會在剩下的兩扇門中打開一扇背后是山羊的門給你看．現在主持人告訴你，你還有一次選擇機會． 請你考慮一下，你是堅持自己的選擇不變，還是改變選擇，才更有可能得到汽車？

解： 把這三扇門分別稱為Ａ門、Ｂ門、Ｃ門，由此可知汽車在Ａ門、Ｂ門、Ｃ門后面的概率均為．假設參賽者選擇了Ａ門，主持人故意打開一個背后是山羊的門，則可能發生以下4種情況：

（１） 車在Ａ門后，主持人開Ｂ門．參賽者不改變選擇能得到汽車，改變選擇得不到汽車．汽車在Ａ門后的概率為，由于主持人知道Ｂ門和Ｃ門后面都是山羊，所以主持人開Ｂ門的概率為．此時參賽者得到汽車的概率是P=×=．

（２） 車在Ａ門后，主持人開Ｃ門．參賽者不改變選擇能得到汽車，改變選擇得不到汽車．參賽者得到汽車的概率同樣是P=×=．

（３） 車在Ｂ門后，主持人開Ｃ門．參賽者改變選擇能得到汽車，不改變選擇得不到汽車．汽車在Ｂ門后的概率為，主持人開Ｃ門的概率為１．此時參賽者得到汽車的概率是P=×1=．

（４） 車在Ｃ門后，主持人開Ｂ門．參賽者改變選擇能得到汽車，不改變選擇得不到汽車．汽車在Ｃ門后的概率為，主持人開Ｂ門的概率為１．此時參賽者得到汽車的概率是P=×1=．

由此可得，參賽者不改變選擇得到汽車的概率是+=，改變選擇得到汽車的概率是+=． 所以參賽者改變選擇更有可能得到汽車．

點評： 蒙提霍爾問題告訴我們，有時候，過于執著也不是好事．

概率題既考查了我們的知識和能力，又讓我們發現生活中充滿了數學． 用概率的眼光看問題，不僅是一種看問題的角度，更是一種看問題的智慧.

《天降美食》

一只漢堡狠狠地砸在地上，人們還沒來得及驚訝，更多的漢堡噼噼啪啪地從天而降了。驚訝的人們紛紛接住漢堡，放到嘴邊一咬，味道很不錯呢！

發明怪才弗林特正是這個奇跡的創造者。他從小就熱衷于搞各種發明，卻均以失敗告終。旁人異樣的眼光讓他倍感孤獨。這一次，為了改變小島上食物種類單一的狀況，他開始建造可以制造食物的發射機。沒想到這發明意外地成功了，小島也成了熱門旅游景點。

然而，貪婪的市長擅自調大了機器的強度，導致降落的食物變得巨大無比，不僅小島安危堪憂，災難甚至將波及整個地球。關鍵時刻，弗林特挺身而出，冒著生命危險毀滅了食物發射機。弗林特的發明又失敗了，但他終于得到了人們的認可。