分段函數的單調性

提問：我遇到一個分段函數單調性的問題：已知函數f（x）＝ax，x<1；2x+1，x≥1.a為實數， f（x）的單調遞增區間是（-∞，+∞），求實數a的取值范圍．

我的解法是：當x≥1時， f（x）＝2x+1單調遞增；當x<1時，令f（x）=ax單調遞增，解得a>0． 這種解法對嗎？

回答：這種解法顯然有問題．由題意可知，f（x）在［1，+∞）上單調遞增，當a>0時，f（x）在（-∞，1）上也單調遞增．但這只能說明f（x）在（-∞，1）和［1，+∞）上分別單調遞增，并不意味著f（x）在（-∞，+∞）上也單調遞增． 我們給實數a賦予兩個特殊值，再來理解這個問題．

當a=1時，函數f（x）=x，x<1；2x+1，x≥1.如圖1所示，左邊圖象的最高點（1，1）比右邊圖象的最低點（1，3）低，即在（-∞，+∞）上任取x1＜x2， f（x1）< f（x2）恒成立，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增．

當a=4時，函數f（x）=4x，x<1；2x+1，x≥1.如圖2所示，左邊圖象的最高點（1，4）比右邊圖象的最低點（1，3）高．如果在x=1的兩側取x1=0.9，x2=1.1，則f（x1）＝3.6， f（x2）＝3.2． x1＜x2，但f（x1）＞f（x2），因此f（x）在整個定義域上的單調遞增區間是（-∞，1）和［1，+∞），而不是（-∞，+∞）．

由此我們可以得出結論：要證明某一分段函數在整個定義域上單調遞增，則該函數必須在每個分段區間上單調遞增，且每個分段區間上圖象的最低點應高于左邊相鄰分段區間上圖象的最高點或與之重合，每個分段區間上圖象的最高點應低于右邊相鄰分段區間上圖象的最低點或與之重合．

再回到上面這個問題，要使f（x）的單調遞增區間是（-∞，+∞），需滿足a>0，f（1）＝3≥a.解得0

答疑人：奉化市第二中學 殷姬飛 釋疑郵箱：tzcdm@qq．com