從2011年高考題談數(shù)列復(fù)習(xí)

一、重視等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量的計(jì)算及常見(jiàn)數(shù)列的求和

等差（等比）數(shù)列是由其基本量——首項(xiàng)與公差（公比）確定的． 在解決等差（等比）數(shù)列問(wèn)題時(shí)，有時(shí)可將條件轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公差（公比）之間的關(guān)系，使問(wèn)題明朗化．比如，在等差數(shù)列中，可將a6轉(zhuǎn)化為a1+5d再進(jìn)行計(jì)算．

課本在推導(dǎo)等差數(shù)列和等比數(shù)列的各類(lèi)公式時(shí)，使用了諸多數(shù)學(xué)方法．等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)使用了疊加法，等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)使用了迭乘法．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)中使用了倒序相加法，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)中使用了錯(cuò)位相減法． 這些方法都可運(yùn)用在解題中.

遇到數(shù)列求和問(wèn)題時(shí)，若對(duì)象為等差（等比）數(shù)列，可直接使用公式；若對(duì)象不是等差（等比）數(shù)列，則須考慮使用倒序相加法、錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法等方法．

例1 （2011年高考數(shù)學(xué)浙江卷理科第19題） 已知公差不為0的等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)a1為a（a∈R），設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且■，■，■成等比數(shù)列．

（１） 求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式及Sn；

（２） 記An=■+■+■+…+■， Bn=■+■+■＋…＋■，當(dāng)n≥2時(shí)，試比較An與Bn的大小．

分析：例１的綜合性較強(qiáng)，主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念和求和公式，以及不等式的基礎(chǔ)知識(shí)、分類(lèi)討論思想等．

解：（１） 設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，由■2=■·■得（a1+d）2=a1·（a1+3d）． ∵ d≠0，a1＝a， ∴ d=a． ∴ an=na，Sn=■．

（２） 由（１）得■＝■■-■， ∴ An=■+■+■+…+■＝■1-■． ∵ ａ2ｎ-1＝2ｎ-1ａ， ∴ Bn=■+■+■＋…＋■＝■1+■+■+…+■＝■·■＝■1-■． ∵ 當(dāng)n≥2時(shí)，2n=（1+1）n=■+■+■+…+■>n+1，∴ 1-■<1-■， ∴ 當(dāng)a>0時(shí)，AnBn ．

二、重視用簡(jiǎn)單的遞推法求數(shù)列的通項(xiàng)

利用數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)是各地高考數(shù)學(xué)卷中的熱點(diǎn)，其一般解法是把所求數(shù)列的遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為等差（等比）數(shù)列的形式． 遞推式的常見(jiàn)形式有六種．

（１） 形如an+1=an+f（ｎ）的遞推關(guān)系式，可采用疊加法求解：an＝（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1 （ｎ≥2）．

（２） 形如■=f（ｎ）的遞推關(guān)系式，可用迭乘法求解：an＝■·■·…·■·a1 （ｎ≥2）．

（３） 形如an+1=ｐan+ｑ的遞推關(guān)系式 （ｐ，ｑ均為常數(shù)且ｐｑ（ｐ-1）≠0），可用湊配法或待定系數(shù)法，把a(bǔ)n+1＝ｐan+ｑ轉(zhuǎn)化為an+1-ｔ=ｐ（an-ｔ）其中ｔ＝■，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．

（４） 形如Sｎ＝f（n）這類(lèi)問(wèn)題，一般利用作差法求得an＝S1，n=1；Sn-Sn-1，ｎ≥2.

（５） 形如an+1=ｐan+ｑｎ的遞推關(guān)系式 （ｐ，ｑ均為常數(shù)且ｐｑ（ｐ-1）（q-1）≠0，p≠q），可先在遞推式兩邊同除以qn+1，得■=■·■+■，然后引入輔助數(shù)列｛bn｝，使bn=■，得bn+1=■bn+■． 設(shè)bn+1+c=■（bn+c），其中c=■，根據(jù)等比數(shù)列相關(guān)公式求出bn的通項(xiàng)公式，由bn=■即可求得an．

（６） 形如an+1=■的遞推關(guān)系式 （其中m，b，c均為非零常數(shù)），可將遞推式化為倒數(shù)的形式，即■＝■+■，用待定系數(shù)法或湊配法求出■的通項(xiàng)公式，即可推出an的通項(xiàng)公式．

★同學(xué)們應(yīng)特別注意掌握前四種遞推關(guān)系式求通項(xiàng)的方法. 后兩種由遞推式求通項(xiàng)的方法有一定難度，在高考中若出現(xiàn)此類(lèi)題型，題干中一般會(huì)有鋪墊，引導(dǎo)同學(xué)們向可行的解題思路靠攏．

例2 （2011年高考數(shù)學(xué)浙江卷樣卷理科第19題） 設(shè)首項(xiàng)為a1、公差為d的等差數(shù)列｛an｝的前ｎ項(xiàng)和為Sn，且ａ7＝-2，S5＝30．

（1） 求ａ1及d；

（2） 若數(shù)列｛ｂn｝滿足an＝■ （ｎ∈N*），求數(shù)列｛ｂn｝的通項(xiàng)公式．

分析：在第（2）問(wèn)中，可把a(bǔ)n＝■轉(zhuǎn)化為ｂ1+2ｂ2+3ｂ3+…+ｎｂｎ=nan，再把該式看做數(shù)列｛ｎｂｎ｝的前n項(xiàng)和Sn，則Sn=nan，從而得到nbn=Sn-Sn-1=nan-（ｎ-1）an-1＝ａ1+2（ｎ-1）ｄ （ｎ≥2）．

解： （１） 由題意可得a1+6d=-2，5a1+■d=30. 解得a1=10，d=-2.

（２） 由（１）得an=10-2（n-1）=12-2n， ∴ b1+2b2+3b3+…+nbn=nan=n（12-2ｎ）．

當(dāng)ｎ＝1時(shí)，ｂ1＝10；

當(dāng)ｎ≥2時(shí)，b1+2b2+3b3+…+（ｎ-1）bn-1＝（n-1）an-1=（ｎ-1）［12-2（ｎ-1）］，又b1+2b2+3b3+…+nbn=n（12-2n）， ∴ nbn=n（12-2ｎ）-（ｎ-1）［12-2（ｎ-1）］＝14-4ｎ， ∴ ｂｎ＝■-4．

當(dāng)ｎ＝1時(shí)，ｂｎ＝■-4也成立． 綜上可得，ｂｎ＝■-4 （ｎ∈N*）．

那些讓你念念不忘的歌詞

長(zhǎng)亭外，古道邊，尋夢(mèng)的人路遙遠(yuǎn)，只為那一朝芳草碧連天。

苦與樂(lè)，彈指間，就算千里識(shí)烽煙，我相信一切有峰回路轉(zhuǎn)。

——巨一清 《一朝芳草碧連天》

前路漫漫，不知所至，但是總有一個(gè)理由在逼你前行。堅(jiān)持到底，盡管不知道結(jié)果如何，但有一個(gè)結(jié)局總比沒(méi)有結(jié)局好。

圖：楊冰冰 文：Rabbit