三角函數(shù):公式多,題不難

主 講：沈新權(quán)

浙江省數(shù)學(xué)特級(jí)教師，嘉興市數(shù)學(xué)會(huì)副會(huì)長(zhǎng).

推薦名言

一切自然科學(xué)，都是研究函數(shù).

——H. H. 魯金 （蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家，現(xiàn)代實(shí)變函數(shù)論的開(kāi)創(chuàng)者之一）

三角函數(shù)內(nèi)容豐富，主要包括定義，圖象與性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性），三角恒等變換，正余弦定理等．自主招生考試對(duì)三角函數(shù)的考查要求相對(duì)較高，除了高考要求的基本知識(shí)點(diǎn)與公式之外，還會(huì)考查一些拓展公式和結(jié)論. 現(xiàn)列舉如下：

萬(wàn)能公式：sinα=■，cosα=■，tanα=■.

和差化積公式：sinα+sinβ=2sin■cos■，sinα-sinβ=2cos■·sin■，cosα+cosβ=2cos■cos■，cosα-cosβ=-2sin■sin■.

積化和差公式：sinαcosβ=■［sin（α+β）+sin（α-β）］，cosαsinβ=■［sin（α+β）-sin（α-β）］，sinαsinβ=-■［cos（α+β）-cos（α-β）］，cosαcosβ=■［cos（α+β）+cos（α-β）］．

三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin3α，cos3α=4cos3α-3cosα，sin■-αsinαsin■+α＝■sin3α，cos■-αcosαcos■+α＝■cos3α，tan■-αtanαtan■+α＝tan3α．

兩個(gè)有用的三角不等式：若α是銳角，則sinα+cosα>1，sinα<α

三角形中的一些基本恒等式：在△ABC中，cos（B+C）＝-cosA；若△ABC不是直角三角形，則tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC．

在自主招生考試中，三角函數(shù)問(wèn)題主要有三類(lèi)：研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換、三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題．

一、 研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例1 （2007年上海交通大學(xué)自主招生考試第12題） 設(shè)函數(shù)f（x）＝sinx+cosx，試討論f（x）的性質(zhì)（有界性、奇偶性、單調(diào)性和周期性），求出其極值，并作出其在［0，2π］內(nèi)的圖象．

解析：三角函數(shù)的重要特點(diǎn)之一是周期性. 一般而言，在討論三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，我們常常先把含有正弦、余弦等不同三角函數(shù)的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)角的一種三角函數(shù)式，求出函數(shù)的周期．只要討論該函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的性質(zhì)，就能判斷函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)． 但例１中的函數(shù)解析式比較簡(jiǎn)單，我們可以先求出函數(shù)的周期，再對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

由f（-x）=f（x）得：f（x）是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.又由f■-x=f（x）可知，函數(shù)圖象關(guān)于x=■對(duì)稱. 我們還發(fā)現(xiàn)， f■+x=f（x），∴ f（x）的最小正周期為T(mén)＝■．由此，我們可以討論函數(shù)f（x）=sinx+cosx在一個(gè)周期0，■內(nèi)的單調(diào)性和最值，再推出一般性結(jié)論．

當(dāng)x∈0，■時(shí)， f（x）=sinx+cosx=■sinx+■. 當(dāng)x∈0，■時(shí)， f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈■，■時(shí)， f（x）單調(diào)遞減. ∴ 對(duì) f（x）=sinx+cosx而言，當(dāng)x∈■，■+■（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈■+■，■+■（k∈Z）時(shí)， f（x）單調(diào)遞減．當(dāng)x=■（k∈Z）時(shí)， f（x）min=1；當(dāng)x=■+■（k∈Z）時(shí)，f（x）max=■． 函數(shù)f（x）在［0，2π］內(nèi)的圖象如圖1所示．

當(dāng)然，在解答例1時(shí)，我們也可以先畫(huà)出函數(shù)圖象，再根據(jù)圖象討論函數(shù)性質(zhì)——這也是解決三角函數(shù)問(wèn)題的一種有效方法．

二、 三角恒等變換

例2 （2010年清華大學(xué)自主招生考試第1題） 求sin410°+sin450°+sin470°的值．

解析：解答例2時(shí)，不僅要熟練掌握三角函數(shù)的相關(guān)公式，還要熟悉三角函數(shù)恒等變換的處理方法，如降冪、和差化積、積化和差等．我們先用降冪公式把所求解析式中的四次方轉(zhuǎn)化為二次方，再進(jìn)行化簡(jiǎn)：sin410°+sin450°+sin470°＝■2+■2+ ■2=■［3-2（cos20°+cos100°+cos140°）+（cos220°+cos2100°+cos2140°）］．

其中， cos20°+cos100°+cos140°＝2cos■cos■+cos140°=2cos60°cos（-40°）-cos40°＝cos（-40°）-cos40°＝0；

cos220°+cos2100°+cos2140°＝■+■+

■＝■［3+（cos40°+cos200°+cos280°）］．

又cos40°+cos200°+cos280°＝2cos■cos■+cos280°=2cos120°cos（-80°）+cos280°＝-cos（-80°）+cos（-80°）＝0， ∴ cos220°+cos2100°+cos2140°=■.

∴ sin410°+sin450°+sin470°=■［3-2×0+■］＝■.

例2的結(jié)論可以推廣成：sin4α+sin4α+■+sin4α+■＝■． 利用例2的求證方法，我們還可以證得sinα+sinα+■+sinα+■＝0， sin2α+sin2α+■+sin2α+■＝■． 有興趣的同學(xué)可以一試

三、 三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題

例3 （2011年“華約”自主招生考試第11題） A，B，C為△ABC的內(nèi)角，且△ABC不是直角三角形．

1） 求證：tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；

（2） 若■tanC－１＝■，且sin2A，sin2B，sin2C的倒數(shù)成等差數(shù)列，求cos■的值．

解析：要解決例3，既要熟悉三角恒等變換的處理方法，又要充分利用三角形內(nèi)角和為180°這一條件．

（1） ∵ A+B+C=π， ∴ tan（A+B）＝tan（π-C）=-tanC （①）． 又tan（A+B）=■，代入①式可得tanA＋tanB＋tanＣ＝tanA·tanB·tanＣ．

（2） 將（1）的結(jié)論代入■tanC－１＝■，得（■tanC－１）tanA＝tanA·tanB·tanＣ-tanA，解得tanＢ＝■. ∵ B∈（0，π）， ∴ B＝■．又■+■=■， 即■=■=■＝■，將A+C＝■代入，得：3cos（A-C）＝1+2cos（2A-2C）＝cos2（A-C）-1，解得cos（A-C）＝1或cos（A-C）＝

-■. ∵ A+C＝■π， ∴ ■∈-■，■，cos■∈■，1.由半角公式求得 cos■=1或cos■= ■．

例4 （2011年“北約”自主招生考試第4題） △ABC的三邊滿足a+b≥2c，求證：C≤60°．

解析：正余弦定理是解決三角形邊角關(guān)系問(wèn)題的媒介. 運(yùn)用正余弦定理時(shí)，一般有兩種方法：一是把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，使之成為三角函數(shù)問(wèn)題；二是把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，使之成為代數(shù)問(wèn)題．

解法一（化邊為角）：由a+b≥2c及正弦定理得：sinA+sinB≥2sinC，和差化積得2sin■·cos■=2cos■cos■≥2sinC=2·2sin■·cos■. ∵ C∈（0，π）， ∴ cos■>0，∴ cos■≥2sin■，而cos■≤1，∴ sin■≤■.由0＜■＜■可得C≤60°．

解法二（化角為邊）：由a+b≥2c及余弦定理，可得cosC=■≥■=■-■≥■-■＝■. ∵ C∈（0，π）， ∴ C≤60°．

KEY to Killing One Owl Species to Save Another:

They mean shooting the barred owls.

KEY to It’s Your Choice That Makes It:

（1） C

（2） Because he/she wants to make his/her argument more persuasive.

看到這里，相信同學(xué)們對(duì)自主招生考試中三角函數(shù)知識(shí)的考查方式大致有數(shù)了． 其實(shí)三角函數(shù)題的難度并不大，但它涉及了大量的公式，需要同學(xué)們熟練掌握、靈活轉(zhuǎn)化．正所謂“熟能生巧”，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)還需要適當(dāng)?shù)木毩?xí)．

【下期預(yù)告】

向量與復(fù)數(shù)的知識(shí)在自主招生考試中也有所涉及．在下期內(nèi)容中，我們將介紹復(fù)數(shù)的三角形式等一些補(bǔ)充知識(shí)，并講講如何用向量和復(fù)數(shù)解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題．