走出困境:相等關(guān)系難確定

主 講：許志鋒

中學(xué)高級教師，臺州市“教學(xué)能手”，擁有20余年高三教

推薦名言

在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中， 提出問題的藝術(shù)比解答問題的藝術(shù)更為重要．

——格奧爾格·康托爾 （德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始人）

在前四期內(nèi)容中，針對解決函數(shù)不等式問題時(shí)遇到的各種困境，我們講了一些應(yīng)對之策．導(dǎo)數(shù)非常適用于解決不等式問題，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的正負(fù)能反映函數(shù)的單調(diào)性，而確定了函數(shù)的單調(diào)性，就能確定函數(shù)值的大小關(guān)系. 但有些函數(shù)綜合題側(cè)重于確定等量關(guān)系，這類問題也能借由導(dǎo)數(shù)來解決嗎？

例 如果一條曲線上存在兩個(gè)點(diǎn)P1（x1，ｙ1），P2（x2，ｙ2）（x1<ｘ2），點(diǎn)Q（x0，ｙ0）在曲線上且點(diǎn)Q處的切線ｌ平行于P1P2，則稱ｌ為弦P1P2的伴隨切線．特別地，當(dāng)ｘ0＝λｘ1+（1-λ）x2 （0＜λ＜1）時(shí)，稱l為弦P1P2的λ-伴隨切線．

（1） 試求證f（x）=lnx的任意一條弦均有唯一的伴隨切線；

（2） 探討曲線f（x）=lnx是否存在具有■-伴隨切線的弦.

第（1）問是要證明存在唯一的x0（x0＞0）使■＝■；第（2）問則要求進(jìn)一步探討是否存在x1，x2滿足■＝■． 由于該式含有對數(shù)式，如果不利用導(dǎo)數(shù)，恐怕難以求解. 我們知道，判斷不等關(guān)系才是導(dǎo)數(shù)的“拿手好戲”，面對要求確定等量關(guān)系的問題，導(dǎo)數(shù)如何才能派上用場？

進(jìn)一步分析

從直覺上說，第（1）問的結(jié)論顯然是成立的． 如圖1所示，對于函數(shù)f（x）=lnx圖象上的任意一條弦P1P2，在弧P1P2上就有一條切線l與之平行． 雖未經(jīng)嚴(yán)格的證明不能使人信服，但理性思維常常誕生于直覺觀察．

令切點(diǎn)自曲線lnx圖象的左下方向右上方運(yùn)動，在這個(gè)過程中，從形的角度來看，切點(diǎn)對應(yīng)的切線越來越平緩，即切線的斜率越來越小；從數(shù)的角度來看，這就等同于f′（x）=■在（0，+∞）上是減函數(shù)，這個(gè)結(jié)論顯然沒錯(cuò)．故當(dāng)切點(diǎn)在弧P1P2上移動時(shí)，左端P1處的切線l1的斜率■最大，右端P2處的切線l2的斜率■最小. 將■，■與弦P1P2的斜率kP1P2=■相比，可得■<■<■ （②）．原本我們要證明等式①，結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)了不等式②．由于f′（x）=■在（0，+∞）上是連續(xù)的減函數(shù)，如果能證明②式，就等同于證明了存在唯一的x0∈（x1，x2）滿足■＝■．

問題（1）證明： 我們先來證明■＜■＜■．

要證明■＜■（0＜x1＜x2），只需證明ln■<■-1． 令■=t，則問題轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)t>1時(shí)，lnt1時(shí)，g′（t）<0，g（t）單調(diào)遞減，又g（1）=0， ∴ 當(dāng)t>1時(shí)，g（t）<0，即■<■．

要證明■>■ （0＜x1＜x2），只需證明ln■>1-■． 令■=t，則問題轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)t>1時(shí)，lnt>1-■. 設(shè)p（ｔ）＝lnt+■-1，則p′（ｔ）＝■-■． 當(dāng)t>1時(shí)，p′（ｔ）>0，p（ｔ）單調(diào)遞增，而p（1）=0，∴ 當(dāng)t>1時(shí)，p（t）>0，即■>■．

∴ ■<■<■得證．

在x1，x2相對確定的情況下，由■<■<■及 f′（x）=■（x>0）單調(diào)遞減可知，連續(xù)函數(shù)n（x）=■-■在（0，＋∞）上單調(diào)遞增. 當(dāng)x=x1時(shí)，n（x）<0；當(dāng)x=x2時(shí)，n（x）>0， ∴存在唯一的x0∈（x1，x2），使n（x）=■-■＝0，即■＝■. ∴在P1，P2確定的情況下，函數(shù)f（x）＝lnx的圖象上存在唯一一條切線l平行于弦P1P2． 又P1（x1，ｙ1），P2（x2，ｙ2）是曲線上的動點(diǎn)， ∴ f（x）＝lnx的任意一條弦均有唯一的伴隨切線．

問題（2）解析： 僅憑圖象，我們很難看出是否存在點(diǎn)P1，P2，使得曲線上橫坐標(biāo)為■的點(diǎn)處的切線l恰好平行于弦P1P2． 正如華羅庚所說，“形少數(shù)時(shí)難入微”，如果我們嘗試將x1，x2取e-2，e-1，e0，e1，e2，…這類便于計(jì)算的數(shù)值，分別計(jì)算kP1P2=■和kl=■，就能發(fā)現(xiàn)■＝■不僅不可能，而且似乎總有■＞■（③）．如果我們能證明③式，就等于證明了f（x）＝lnx不存在具有■-伴隨切線的弦．

令■=t，③式等價(jià)于lnt>■（t＞1）.構(gòu)造函數(shù)h（t）=lnt-■，則h′（t）=■． 當(dāng)t>1時(shí)，h′（t）>0，h（t）單調(diào)遞增． 又h（1）=0， ∴ 當(dāng)t>1時(shí)，h（t）>0，③式成立. ∴ f（x）=lnx不存在具有■-伴隨切線的弦．

點(diǎn) 評

上述解答告訴我們：要證明一個(gè)連續(xù)函數(shù)能取到某一定值，只要找到兩個(gè)點(diǎn)即可——一個(gè)點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值小于該定值，另一個(gè)點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值大于該定值．與直接尋找函數(shù)值與定值相等的方法相比，這種方法思路更寬，解答更容易． 同樣，要證明函數(shù)不存在取某一定值的可能性，只要證明函數(shù)值恒大于（或恒小于）該定值即可．

怎樣發(fā)現(xiàn)解題時(shí)所需的不等關(guān)系？觀察圖象或計(jì)算數(shù)值均為有效的“偵察”手段．相等問題一旦轉(zhuǎn)化為不等問題，導(dǎo)數(shù)就有了“用武之地”．

“大道無門，千差有路”，用這句禪語來描述解決數(shù)學(xué)問題的過程再合適不過：你永遠(yuǎn)別指望能夠獲得破解所有難題的秘籍，但是這些看似高深的問題卻各有各的解決途徑，只要用心體會，終能大徹大悟！

練一練

已知函數(shù)f（x）=lnx-■x2. 證明：存在x0∈（2，+∞），使得f（x0）＝f■．

參考答案

簡解： f′（x）＝■-■x（x>0）．令f′（x）=0，解得 f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減， ∴ f（2）＞f■. 只要在（2，+∞）內(nèi)找到一個(gè)點(diǎn)x1使f（x1）0-1=-1，∴ f（e4）＜f■． ∴ 存在x0∈（2，+∞），使得f（x0）＝f■．