淺談用線性規劃思想解題

摘 要：“線性規劃”是高中數學新教材中新增加的內容。從教材的編排來看，它是在學生學習了直線方程的基礎上，介紹直線方程的一個簡單應用。線性規劃將現實生活中的實際問題與數學問題很好地結合起來，能激發學生學習數學的熱情，拓寬學生的視野。

關鍵詞：線性規劃思想；解題；應用

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2012）03-076-2

線性規劃問題以二元一次不等式所表示的平面區域內容為基礎，它將代數與幾何，數學與實際巧妙地聯系起來，線性規劃實際上就是以數學知識為工具，來研究在一定的人、財、物、時、空等資源條件下，如何精打細算巧妙安排以最少的資源來取得最大的經濟效益。然而中學所學的線性規劃只是規劃論中極小的一部分，但這部分內容體現了數學的工具性、應用性，同時滲透了化歸、數形結合的思想，并且為學生今后解決實際問題提供了一種重要的解題方法——數學模型法，所以掌握好這部分內容非常重要。

一、線性規劃的內涵

線性規劃是數學規劃的一部分，它研究目標函數在約束條件下的最大值和最小值問題，即要尋找既滿足約束條件又使得目標函數達到最優的解，要一下子處理可能比較困難，于是提出“可行解”這一概念，將求解線性規劃的問題分解為兩步，第一步先求“可行解”，第二步再求“最優解”。從而分散了難點，找到了解決問題的方法。雖然中學所學的線性規劃只是規劃論中極小一部分，但這部分內容體現了數學的工具性、應用性，同時滲透了化歸、數形結合的思想，能夠將實際問題轉化為數學問題，抽象解決一些簡單的線性規劃應用問題的基本思路和主要方法。

二、線性規劃思想解題

利用線性規劃的思想解題主要是依據給定的條件，把整個題目的有關約束條件和所求目標函數用數學關系和邏輯關系表示出來，運用化規，數形結合等思想，主要通過圖解法的方法求解，得出最優解和最優目標函數值。下面舉例說明幾種用的線性規劃的方法在實際解題中的應用。

(一)向量問題轉化為線性規劃問題

向量是平面幾何的基礎，線性規劃作為連接點巧妙地將幾何問題與代數問題聯結起來。

例1 已知在平面直角坐標系中，O(0，0)，M(1，12)，N(0，1)，Q(2，3)，動點P(x，y)滿足不等式0≤OP#8226;OM≤1，0≤OP#8226;ON≤1，則W=OP#8226;OQ的最大值是多少？

分析 因為O(0，0)，M(1，12)，N(0，1)，Q(2，3)，所以 0≤OP#8226;OM≤1，0≤OP#8226;ON≤1，0≤x+12y 圖1

≤1，0≤y≤1，W=OP#8226;OQ=2x+3y。

本例轉化為在線性的約束條件

x+12y≤1，0≤y≤1，x+12y≥0

下，求線性目標函數W=OP#8226;OQ=2x+3y的最大值題?？勺鞒鋈鐖D的可行域，顯然在點T的坐標是最優解。

由

x+12y=1，y=1

得

T(12，1)，

所以

Wmax=2×12+3×1=4。

注 本題將平面向量與線性規劃巧妙地結合起來，真正體現了在知識交匯點處命題的高考指導思想。解決這類問題的關鍵是將已知的不等式組準確地轉化為二元一次不等式組并準確畫圖，然后求最值。

(二)三角問題轉化為線性規劃問題

求解三角形個數問題，常規解法是根據三角形三邊關系，利用分類計數原理求解，而用線性規劃方法求解，則別具一格［2］。

例2 三邊長均為整數，且最大邊長為11的三角形個數為多少？ 圖2

解 設三角形另兩邊長分別x，y(x，y∈N*)，

根據題意得

x+y>11，x≤11，y≤11，x≥y，x，y∈N*

轉化為在此約束條件下求整數點的問題，

如圖所示可得 1+3+5+7+9+11=36，

故三角形的個數為36個。

注 本題巧妙地將線性規劃問題運用到三角形的問題中，體現了線性規劃廣泛運用的特點。求解這類題目關鍵是利用三角形兩邊之和大于第三邊的關系，轉換為標準的線性規劃問題，其中，在求整數可行解時，也就是可行域中橫坐標和縱坐標都是整數的點，可先畫出滿足線性規劃約束條件的平面區域，然后再找整數點。

(三)與函數或不等式結合，求取值范圍問題

函數與不等式是高中數學的基本知識點，求取值范圍也是常見地類型，結合函數或不等式的性質，運用數形結合的思想把問題轉化為線性規劃的問題解決，即形象又直觀［3］。

例3 已知f(x)=ax2+bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍。

分析 對這個問題，可以用f(－1)，f(1)表示f(－2)，再由f(－1)，f(1)的范圍，結合不等式的性質求出f(－2)的取值范圍。我們可以轉化為線性規劃問題求解。 圖3

解 1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，得1≤a－b≤2，2≤a+b≤4。(1)

目標是求f(-2)=4a－2b的取值范圍。

作出線性約束條件（1）下的可行域四邊形ABCD，

如圖3A(2，0)，B(3，1)，C(52，32)，D(32，12)不難得到，

當直線4a－2b= f(-2)經過點B和D 時，

f(－2)分別取得最大值最小值10和5。

所以 f(-2)∈［5，10］。

注 對于這個問題，很多學生常犯如下錯誤:由題設

1≤a－b≤2，2≤a+b≤4，

得

32≤a≤3，0≤b≤32。 (2)

又因f(-2)=4a－2b，所以3≤f(－2)≤12。

線性規劃中的可行域可以直觀形象地幫助我們可看到此種解法的錯誤之處。作出（2）式表示的可行域如圖4，可清楚地看到圖3中的可行域是圖4的一部分，即由（1）到（2）后范圍擴大了。

(四)線性規劃在函數問題中的應用

對于某些與函數有關的問題，若善于利用已知條件構造線性約束條件，將問題換為線性規劃問題求解，有時能起到事半功倍的效果。

例4 已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c在區間［－1，2］上是減函數，求a+b的最大值。

分析 根據線性規劃思想，可視t=a+b為目標函數，再由已知條件可知a，b的約束條件，即由f(x)=x3+ax2+bx+c在區間［－1，2］上是減函數，得出目標函數的可行域。這樣，求a+b的最大值就轉化為在可行域中求目標函數的最大值。

圖4

解 由題意知f′(x)=3x2+2ax+b，在［－1，2］恒有f′(x)≤0，

則

f′(－1)≤0，f′(2)≤0

即

3－2a+b≤0，12+4a+b≤0。

令t=a+b，其中a，b滿足上述約束條件，作出這個約束條件下的可行域，如圖5所示，當直線t=a+b 過點 A(－32，－6)時，tmax=－152。

容易驗證:a=－32，b=－6 時，f(x)在區間［－1，2］上是減函數，所以a+b的最大值為－152。

注 本例題由函數的單調性，運用導數列出不等式即得出目標函數的可行域，將本例轉化為求解目標函數的最大值，若直接運用函數的性質求解，顯得繁瑣且容易將范圍擴大，因此，運用線性規劃思想求解此類最值問題時既簡捷又方便。

(五)與解析幾何結合，求參數的范圍問題

線性規劃體現的是數形結合的思想，理解了這一點，則賦予了線性規劃知識更廣泛、更深刻的意義。在線性約束條件下，凡結論具有一定的幾何意義的問題均可類比解決。

例5 已知線段AB的端點為A(1，3)、B(5，2)，若動直線l:x+ty=－1t與線段AB相交，求參數t的取值范圍。

圖5

分析 直線l可化為x+ty+1t=0。因線段AB與直線l有公共點。

由線性規劃知識得

(1+3t+1t)(5+2t+1t)≤0，

而 t2>0，所以化為

(3t2+t+1)(2t2+5t+1)≤0。

又3t2+t+1=3(t+16)2+1112>0，

所以再化為

2t2+5t+1≤0，

解得

－5－174≤t≤－5+174。

注1 直角坐標系內有兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)直線l:Ax+By+C=0，直線l和線段P1P2有公共點的充要條件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)≤0。

注2 按傳統解法是從直線斜率出發，由動直線引出定點，通過對直線系探討等決與線段有公共點的問題。而本題難以確定動直線所過定點，傳統方法無法用上。現在利用線性規劃知識構建不等式，就可以使問題得到圓滿解決。

(六)概率問題轉化為線性規劃問題

概率是中學數學教材中新增內容，它在理論與實際生活中都有重要意義，在求解某些概率問題的過程中，若思路受阻，或很難找到突破口，可以借助坐標和一系列的等價變換，將一次試驗可能結果的全體用某一圖形的面積G來代替，然后將所求事件包含的結果數以線性約束條件的形式展現出來，若其相應的可行域的面積為g，則所求事件的概率為gG。

例6 兩人相約9點到10點在同一地點會面，早到的人要等另一個人20分鐘才能離開，試求兩人會面的概率。

分析 以x，y分別代表兩人到會面地點的時刻，則兩人會面的充要條件為

|x－y|≤20，x，y∈［0，60］，即x－y≤20，y－x≤20，0≤x≤60，0≤y≤60

在直角坐標系中畫出x，y的可行域（如圖6的陰影部分）。顯然兩人可能到達的時間為圖中正方形內（含邊界）的點，陰影部分表示能會面的點，從而可利用其面積之比得概率為:P=602－12×40×40×2602=59。

注 這是一道幾何概率問題，用線性規劃的思想可直觀簡捷的求解這類問題。本例題中有明確的不等式關系，可將其概括成不等式組，畫可行域，用線性規劃的思想解題。

線性規劃是數學規劃中理論較完整，方法較成熟，應用廣泛的一個分支，它能解決許多方面的實際問題。它是直線方程的一個簡單應用，也是數形結合數學思想的很好體現。文章是在了解線性規劃的意義，以及線性約束、線性目標函數、可行解、可行域、最優解等概念，并且熟練掌握線性規劃的圖解法的基礎上，運用數形結合的思想解決有關向量、函數、不等式、解析幾何等方面的問題，使解決這些問題變得更加簡便，同時也有助于數學思維能力的提高。

［參考文獻］

［1］教育部.普通高中數學課程標準(實驗).人民教育出版社，2003.

［2］吳成強.線性目標函數最優解的探求.中學生理科月刊，2003（5）.

［3］房之華.線性規劃中疑難問題的突破策略.中學數學，2004（7）.

［4］孫立群.研究性學習課題“線性規劃的實際應用”教學實錄.中小學教材教學，2003（3）.