運(yùn)動(dòng)電荷在有界磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)

摘 要：運(yùn)動(dòng)電荷在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，又是高考的熱點(diǎn)，學(xué)生對(duì)這類問題感到困難，主要原因是不能準(zhǔn)確地找出運(yùn)動(dòng)電荷在有界磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，不能靈活地運(yùn)用有關(guān)圓的幾何知識(shí)解決物理問題，對(duì)這類問題的解法缺乏規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，為此本文就求解這類題型的某些規(guī)律作了歸納。

關(guān)鍵詞：運(yùn)動(dòng)電荷；有界磁場(chǎng)；物理問題；靈活應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G427 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2012）03-064-1

一、基本思想

因?yàn)槁鍌惼澚始終與速度v垂直，即F只改變速度方向而不改變速度的大小，所以運(yùn)動(dòng)電荷垂直磁感線進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)且僅受洛倫茲力時(shí)，一定做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，

即F=qvB=mv2/R。運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題大致可分兩種情況：1. 做完整的圓周運(yùn)動(dòng)（在無(wú)界磁場(chǎng)或有界磁場(chǎng)中）；2. 做一段圓弧運(yùn)動(dòng)（一般在有界磁場(chǎng)中）。無(wú)論何種情況，其關(guān)鍵均在圓心、半徑、軌跡的確定上。

二、解題步驟

1. 找圓心

（1）已知兩個(gè)速度方向：根據(jù)洛倫茲力F⊥v，分別確定兩點(diǎn)處洛倫茲力F的方向，其交點(diǎn)即為圓心。

（2）已知入射方向和出射點(diǎn)的位置：通過(guò)入射點(diǎn)作入射方向的垂線，連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)作中垂線，交點(diǎn)就是圓心。

2. 定半徑

方法1：平面幾何知識(shí)（勾股定理、三角函數(shù)）。

方法2：向心力公式（R= mv/qB）。

3. 畫軌跡

在圓心和半徑確定后可根據(jù)左手定則和題意畫出運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中的軌跡圖。

4. 確定圓心角求時(shí)間t=θ2πT(θ為弧度制)

三、方法歸納

1.直線邊界中幾度進(jìn)來(lái)，幾度出去（從一邊界射入的電荷，若從同一邊界射出時(shí)，則初末速度與邊界的夾角相等）。

2.圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)，若粒子沿徑向射入，則必沿徑向射出且速度的偏轉(zhuǎn)角等于兩速度間所夾圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角還等于弦切角的兩倍。

3.足夠大的長(zhǎng)方形磁場(chǎng)中要注意臨界條件的分析，從對(duì)面邊界飛出和飛不出去的臨界情況往往為：軌跡與邊界相切。

四、實(shí)例分析

圖1

圖2

例1 如圖1所示，兩電子沿MN方向射入兩平行直線間的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，

并分別以v1、v2的速度射出磁場(chǎng)。則v1∶v2是多少？?jī)呻娮油ㄟ^(guò)勻強(qiáng)磁場(chǎng)所需時(shí)間之比t1∶t2是多少？

解析：利用上述方法1：可確定出兩電子軌跡的圓心O1和圓心O2，如圖2所示。由圖中幾何關(guān)系，兩軌跡圓半徑的關(guān)系為

(r2-r1)/r2=cos60°

又r=mvqb，

故v1/v2=r1/r2=1/2

兩電子分別在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1=π2π=12T，

t2=π32π=16T，

因此t1/t2=3/2

圖3

圖4

例2 如圖3所示，在y<0的區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xy平面并指向紙面外，

磁感強(qiáng)度為B。一帶正電的粒子以速度v0從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正向的夾角為θ。若粒子射出磁場(chǎng)的位置與O點(diǎn)的距離為l，求該粒子的電量和質(zhì)量之比q/m。

解析：帶正電粒子射入磁場(chǎng)后，由于受到洛倫茲力的作用，粒子將沿圖4所示的軌跡運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，O、A間的距離為l，射出時(shí)的速度仍為v0，

根據(jù)對(duì)稱規(guī)律，射出方向與x軸的夾角仍為θ。由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有

qv0B=mv20/R

式中R為圓軌道半徑。圓軌道的圓心位于OA的中垂線上，由幾何關(guān)系有l(wèi)/2=Rsinθ

聯(lián)立以上兩式解得qm=2v0sinθlB

圖5

圖6

例3 如圖5所示，在半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，有一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電粒子以速度v0

從M點(diǎn)沿半徑方向射入磁場(chǎng)區(qū)，并由N點(diǎn)射出，O點(diǎn)為圓心。當(dāng)∠MON＝120°時(shí)，求：帶電粒子在磁場(chǎng)區(qū)的偏轉(zhuǎn)半徑R及在磁場(chǎng)區(qū)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

解析：應(yīng)用上述方法1，分別過(guò)M、N點(diǎn)作半徑OM、ON的垂線，此兩垂線的交點(diǎn)O′即為帶電粒子作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)圓弧軌道的圓心，如圖6所示。

由圖中的幾何關(guān)系可知，圓弧MN所對(duì)的軌道圓心角為60°，O、O′的連線為該圓心角的角平分線，由此可得帶電粒子圓軌道半徑為

R=r/tan30°=3r

又帶電粒子的軌道半徑可表示為

R=mv0qB

故帶電粒子運(yùn)動(dòng)周期

T=2πmqB=23πv0r

帶電粒子在磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

t=60°360°T=16T

=3πr3v0

通過(guò)方法的總結(jié)和實(shí)例的講解，發(fā)現(xiàn)絕大部分學(xué)生掌握情況較好，這對(duì)于運(yùn)動(dòng)電荷在有界磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)更為復(fù)雜的多解問題會(huì)有很大的幫助，