中考試題數學建模的常見類型

全日制義務教育數學課程標準對數學建模提出了明確要求，強化學生數學建模的能力，不僅能使學生更好地掌握數學基礎知識，學會數學的基本思想和方法。也能增強學生應用數學的意識，提高分析問題，解決實際問題的能力。近幾年全國各地的中考試題考查學生建模思想和意識的題目有許多，比較常見類型有以下四類：

一、建立“函數”模型

函數反映了事物間的廣泛聯系，揭示了現實世界眾多的數量關系及運動規律。現實生活中，諸如最大獲利、用料價造、最佳投資、最小成本、方案最優化問題，常可建立函數模型求解。

例1 （貴陽市中考）某水果批發商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規定每箱售價不得高于55元，市場調查發現，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱。

（1）求平均每天銷售量y（箱）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式。

（2）求該批發商平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式。

（3）當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

解：（1）y=90-3（x-50） 化簡，得y=-3x+240

（2）w=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600

（3）w=-3x2+360x-9600= -3（x-60）2+1125

∵a=-3<0 ∴拋物線開口向下。當x=60時，w有最大值，又x<60，w隨x的增大而增大，

∴當x=55時，w的最大值為1125元。

∴當每箱蘋果的銷售價為55元時，可以獲得最大利潤1125元的最大利潤。

二、建立“不等式（組）”模型

現實生活建立中同樣也廣泛存在著數量之間的不等關系。諸如統籌安排、市場營銷、生產決策、核定價格范圍等問題，可以通過給出的一些數據進行分析，將實際問題轉化成相應的不等式問題，利用不等式的有關性質加以解決。

例2 （茂名市中考）某體育用品商場采購員要到廠家批發購進籃球和排球共100只，付款總額不得超過11815元。已知兩種球廠家的批發價和商場的零售價如下表，試解答下列問題：

（1）該采購員最多可購進籃球多少只？

（2）若該商場能把這100只球全部以零售價售出，為使商場獲得的利潤不低于2580元，則采購員至少要購籃球多少只？該商場最多可盈利多少元？

解：（1）該采購員最多可購進籃球x只，則排球為（100-x）只，

依題意得：130x+100（100-x）≤11815 解得x≤60.5 ∵x是正整數，∴x=60

答：購進籃球和排球共100只時，該采購員最多可購進籃球60只。

（2）該采購員至少要購進籃球x只，則排球為（100-x）只，

依題意得：30x+20（100-x）≥2580 解得x≥58

由表中可知籃球的利潤大于排球的利潤，因此這100只球中，當籃球最多時，商場可盈利最多，即籃球60只，此時排球平均每天銷售40只，商場可盈利（160-130）×60+（120-100）×40=1800+800=2600（元）

答：采購員至少要購進籃球58只，該商場最多可盈利2600元。

三、建立“幾何”模型

幾何與人類生活和實際密切相關，諸如測量、航海、建筑、工程定位、道路拱橋設計等涉及一定圖形的性質時，常需建立“幾何模型，把實際問題轉化為幾何問題加以解決。

例3（南寧市中考）如圖點P表示廣場上的一盞照明燈。

（1）請你在圖中畫出小敏在照明燈P照射下的影子（用線段表示）；

（2）若小麗到燈柱MO的距離為1.5米，小麗目測照明燈P的仰角為55°，她的目高QB為1.6米，試求照明燈P到地面的距離；結果精確到0.1米；參考數據：tan55？°≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574。

解：（1）如圖，線段AC是小敏的影子。

（2）過點Q作QE⊥MO于E，過點P作PF⊥AB于F，交EQ于點D，則PF⊥EQ。在Rt△PDQ中，∠PQD=55°，DQ=EQ-ED=4.5-1.5=3（米）。

∵tan55°=

∴PD=3 tan55°≈4.3（米）

∵DF=QB=1.6米

∴PF=PD+DF=4.3+1.6=5.9（米）。

答：照明燈到地面的距離為5.9米。

四、建立“方程（組）”模型

現實生活中廣泛存在著數量之間的相等關系，“方程（組）”模型是研究現實世界數量關系的最基本的數學模型，它可以幫助人們從數量關系的角度更正確、清晰的認識、描述和把握現實世界。諸如納稅問題、分期付款、打折銷售、增長率、儲蓄利息、工程問題、行程問題、濃度配比等問題，常可以抽象成“方程（組）”模型，通過列方程（組）加以解決。

例4（深圳市中考）A、B兩地相距18公里，甲工程隊要在A、B兩地間鋪設一條輸送天然氣管道，乙工程隊要在A、B兩地間鋪設一條輸油管道。已知甲工程隊每周比乙工程隊少鋪設1公里，甲工程對提前3周開工，結果兩隊同時完成任務，求甲、乙兩工程隊每周各鋪設多少公里管道？

解：設甲工程隊每周鋪設管道x公里，則乙工程隊每周鋪設管道（x+1）公里。

依題意得：-=3 解得x1=2， x2=-3

經檢驗x1=2，x2=-3都是原方程的根。但x2=-3不符合題意，舍去。∴x+1=3

答：甲工程隊每周鋪設管道2公里，則乙工程隊每周鋪設管道3公里。

（作者單位：福建省西山學校初中部）