導數應用的幾個“關系”問題

朱允洲

導數在求曲線的方程、函數的極值單調性及實際應用等方面，由于其簡便性備受學生的青睞，但在實際操作過程中有諸多細節問題需要注意，否則很容易出錯.

一、曲線“在”一點處切線方程與“過”一點處切線方程的關系

在一點x0，f(x0)切線方程的意思是該點一定在此曲線上，切點就是該點，切線斜率就是函數在該點的導數，切線只有一條：y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).而求過一點的切線方程，此點不一定在曲線上，從而該點也不一定是切點，自然切線斜率就不一定是該點的導數，切線也不一定只有一條，通常是設切點，寫出切線方程，把該點代入，求出切點坐標，得到切線方程，如：函數f(x)=x3過點(1，1)的切線就有兩條，一條是以(1，1)為切點的，另一條是以-12，-18為切點的.

二、函數在x=x0處可導與曲線在該點處切線的關系

函數f(x)在x=x0處可導，則它在x=x0處的導數為f′(x0)，切線方程為y-f(x0)==f′(x0)(x-x0).但是，若函數f(x)在x=x0處不可導時，則它在該點處可能存在切線也可能不存在切線，如函數y=｜x｜在x=0處不可導也不存在切線，而函數y=3x在x=0處不可導，但它在原點處的切線為x=0.

三、導數值的正負與函數單調性的關系

一般地，如果函數f(x)在某個區間上f′(x)＞0(＜0)，則f(x)為該區間上的增（減）函數，但反之不成立，如y=x3在(-1，1)上為增函數，但在x=0的導數為0.因此，函數f(x)在某個區間上f′(x)≥0（或f′(x)≤0），其等號只在這個區間內的個別點處成立，此函數在該區間也為增函數（或減函數）.如：已知函數f(x)=ax-12x-lnx在（0，+∞）上是增函數，求a的取值范圍，此題等價于f′(x)≥0在（0，+∞）上恒成立時求a的取值范圍，而不是f′(x)＞0.

四、導數為0的點與函數極值點的關系

函數在某點時的導數為0，在該點不一定取得極值，但可導函數如果在某點取得極值，該點的導數一定為0，所以求函數極值時，要對所有導數為0的點加以檢驗，看在其左右兩邊導數值是否同號，若同號則在該點就不能取得極值，異號就可以取得極值，如：函數y=(x2-1)3+1雖然在x=1，-1，0的導數都為0，但只在x=0處取得極值.

五、不可導點與函數極值點的關系

求函數的極值時不僅要注意導數值等于零的點，還要考慮其不可導點.對于不可導點，同樣要考察該點兩側的導數值是否異號，若異號才有可能取得極值，如函數y=5(x2-2x)2在（-12，52）上的極值點為0，1，2三個，其中1是可導點，0、2是兩個不可導點，但函數在這兩點取得極小值.

六、導數與數列的關系

連續是函數可導的必要不充分條件，不能對不連續的函數進行求導，如:設｛an｝的通項公式為an=n2+λn(n∈N*)，且｛an｝是遞增數列，則λ的取值范圍是［-2，+∞)；因為an為非連續函數，而非連續函數是無導數的，所以不能用a′n來確定an的單調性，可構造相應的函數y=x2+λx(x＞0)，借助該函數的單調性來求λ的范圍.

細節決定成敗，尤其對于填空題而言，只要一個小小的失誤，整個的努力就可能化為烏有，所以在解決導數應用問題時注意以上幾點，就可能會達到事半功倍之效果.

（責任編輯 金鈴）